板块1 专题1 小题自检7 不等式与线性规划问题（课件+练习）-2020高考理科数学【优化指导】高中总复习·第2轮（全国版）

小题自检7　不等式与线性规划问题 一、考情考向分析 利用不等式性质比较大小，利用基本不等式求最值及线性规划问题是高考的热点，一元二次不等式常与函数、数列结合考查一元二次不等式的解法和参数的取值范围． 二、通关必备知识 1．审题思维必备 (1)看到有关不等式的命题或结论的判定，想到不等式的性质． (2)看到解不等式，想到求解不等式的方法步骤． (3)看到求目标函数最值问题，想到线性规划求最优解的步骤；看到最优解求参数，想到由最值列方程(组)求解． (4)看到最值问题，想到“积定和最小”、“和定积最大”． 2．解题方法必备 (1)一元二次不等式的解法：结合一元二次函数图象，掌握因式分解法，公式法解一元二次不等式． (2)含指数、对数的不等式：利用指数函数、对数函数的单调性转化求解． (3)掌握不等式恒成立问题的解法：①f(x)>a对一切x∈I恒成立⇔f(x)min>a；f(x)<a对一切x∈I恒成立⇔f(x)max<a；②f(x)>g(x)对一切x∈I恒成立⇔f(x)的图象在g(x)图象的上方．另外解决恒成立问题还可以用分离参数法． (4)牢记三种常见的目标函数及其求法，即截距型、距离型、斜率型目标函数． (5)掌握基本不等式求最值的三种解题技巧：凑项、凑系数、换元． 三、三年真题再现 1．(2017·全国卷Ⅱ)设x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最小值是(　　) A．－15　　　　　　 B．－9 C．1 D．9 A　[不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示． 将目标函数z＝2x＋y化为y＝－2x＋z，作出直线y＝－2x，并平移该直线，知当直线y＝－2x＋z经过点A(－6，－3)时，z有最小值，且zmin＝2×(－6)－3＝－15．] 2．(2019·北京卷)若x，y满足|x|≤1－y，且y≥－1，则3x＋y的最大值为(　　) A．－7 B．1 C．5 D．7 C　[由|x|≤1－y，且y≥－1，得 作出可行域如图阴影部分所示． [来源:学科网ZXXK] 设z＝3x＋y，则y＝－3x＋z． 作直线l0：y＝－3x，并进行平移． 显然当l0过点A(2，－1)时，z取最大值，zmax＝3×2－1＝5．] 3．(2019·浙江卷)若实数x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最大值是(　　) A．－1 B．1 C．10 D．12 C　[如图，不等式组表示的平面区域是以A(－1,1)，B(1，－1)，C(2,2)为顶点的△ABC区域(包含边界)． 作出直线y＝－x并平移，知当直线y＝－x＋经过C(2,2)时，z取得最大值，且zmax＝3×2＋2×2＝10．] 4．(2018·全国卷Ⅰ)若x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最大值为________． 6　[作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示． 由z＝3x＋2y得y＝－x＋． 作直线l0：y＝－x.平移直线l0，当直线y＝－x＋过点(2,0)时，z取最大值，zmax＝3×2＋2×0＝6．] 5．(2018·全国卷Ⅱ)若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________． 9　[由不等式组画出可行域，如图阴影部分．x＋y取得最大值⇔斜率为－1的直线x＋y＝z(z看做常数)的横截距最大， 由图可得直线x＋y＝z过点C时，z取得最大值． 由得点C(5,4)， ∴zmax＝5＋4＝9．] 6．(2017·全国卷Ⅰ)设x，y满足约束条件则z＝3x－2y的最小值为________． －5　[作出可行域如图阴影部分所示． 由z＝3x－2y，得y＝x－． 作出直线l0：y＝x，并平移l0，知当直线y＝x－过点A时，z取得最小值． 由得A(－1,1)， ∴zmin＝3×(－1)－2×1＝－5．] 7．(2017·全国卷Ⅲ)若x，y满足约束条件则z＝3x－4y的最小值为________． －1　[不等式组表示的可行域如图阴影部分所示． 由z＝3x－4y得y＝x－z． 平移直线y＝x，易知经过点A时，z有最小值． 由得∴A(1,1)． ∴zmin＝3－4＝－1．] 8．(2019·天津卷)设x>0，y>0，x＋2y＝5，则的最小值为________． 4　[∵x>0，y>0，∴>0． ∵x＋2y＝5， ∴＝＝[来源:学*科*网] ＝2＋≥2＝4． 当且仅当2＝时取等号． ∴的最小值为4．] 9．(2018·天津卷)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋的最小值为________． 　[∵a－3b＋6＝0，∴a－3b＝－6，∴2a＋＝2a＋2－3b≥2＝2＝2＝2×2－3＝，当且仅当时等号成立，即时取到等号．] 10．(2018·江苏卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为________．[来源:Z