板块1 专题1 小题自检8 等差、等比数列的基本运算（课件+练习）-2020高考理科数学【优化指导】高中总复习·第2轮（全国版）

小题自检8　等差、等比数列的基本运算 一、考情考向分析 等差、等比数列是高考的热点之一，主要考查求等差、等比数列基本量及性质的应用，试题难度中低档． 二、通关必备知识 1．审题思维必备 (1)看到求等差数列的基本量时，想到利用公式列出方程(组)或直接用性质． (2)看到等差数列的前n项和，想到等差数列前n项和公式或二次函数的思想． (3)看到求等比数列的基本量时，想到利用公式列出方程(组)或直接用性质． (4)看到等比数列前n项和，想到q＝1和q≠1两种情况． 2．解题方法必备 (1)等差(比)数列基本运算的解题思路 ①设基本量：首项a1和公差d(公比q)． ②列、解方程(组)：把条件转化为关于a1和d(或q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量． (2)等差、等比数列性质问题的求解策略 ①解题关键：抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解． ②运用函数性质：数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题． 三、三年真题再现 1．(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则(　　) A．an＝2n－5　　　　 B．an＝3n－10 C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝n2－2n A　[设首项为a1，公差为d． 由S4＝0，a5＝5可得解得 所以an＝－3＋2(n－1)＝2n－5， Sn＝n×(－3)＋×2＝n2－4n．] 2．(2019·全国卷Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝(　　) A．16　　　 B．8　　　 C．4　　　 D．2 C　[由题意知 解得∴a3＝a1q2＝4．] 3．(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝(　　) A．－12 B．－10 C．10 D．12 B　[设等差数列{an}的公差为d，由3S3＝S2＋S4， 得3＝2a1＋×d＋4a1＋×d，将a1＝2代入上式，解得d＝－3， 故a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10．] 4．(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 C　[设{an}的公差为d，则 由得 解得d＝4．] 5．(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(　　) A．1盏 B．3盏[来源:学_科_网] C．5盏 D．9盏 B　[设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则由题意知S7＝381，q＝2， ∴S7＝＝＝381，解得a1＝3．][来源:Zxxk.Com] 6．(2017·全国卷Ⅲ)等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为(　　) A．－24 B．－3 C．3 D．8 A　[由已知条件可得a1＝1，d≠0， 由a＝a2a6可得(1＋2d)2＝(1＋d)(1＋5d)， 解得d＝－2． 所以S6＝6×1＋＝－24．] 7．(2017·全国卷Ⅰ)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是(　　) A．440 B．330 C．220 D．110 A　[设首项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第3组，依此类推，则第n组的项数为n，前n组的项数和为． 由题意知，N>100，令>100⇒n≥14且n∈N*，即N出现在第13组之后． 第n组的各项和为＝2n－1，前n组所有项的和为－n＝2n＋1－2－n． 设N是第n＋1组的第k项，若要使前N项和为2的整数幂，则N－项的和即第n＋1组的前k项的和2k－1应与－2－n互为相反数，即2k－1＝2＋n(k∈N*，n≥14)，k＝log2(n＋3)⇒n最小为29，此时k＝5，则N＝＋5＝440．] 8．(2019·全国卷Ⅲ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1≠0，a2＝3a1，则＝________． 4　[由a1≠0，a2＝3a1，可得d＝2a1， 所以S10＝10a