板块1 专题1 小题自检10 空间几何体的三视图、体积与表面积问题（课件+练习）-2020高考理科数学【优化指导】高中总复习·第2轮（全国版）

小题自检10　空间几何体的三视图、体积与表面积问题 一、考情考向分析 高考对本考点的考查有两个方面：一是以三视图为载体，考查空间几何体表面积、体积的计算；二是考查空间几何体的侧面展开图及简单组合体的体积等有关问题，一般难度中档偏上． 二、通关必备知识 1．审题思维必备 (1)看到三视图，想到三视图与直观图的转化方法及数量对应关系． (2)看到求体积、表面积问题，想到求体积的几种常见方法，表面积公式及“化曲为直”的思想． (3)看到与球有关的组合体体积、表面积问题，想到正方体或长方体的体对角线与外接球或内切球半径的关系及与球有关的常用结论． 2．解题方法必备 (1)求解几何体的表面积与体积的技巧 ①求三棱锥的体积：等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上． ②求不规则几何体的体积：常用分割或补形的方法，将不规则几何体转化为规则几何体求解． ③求表面积：其关键思想是空间问题平面化． (2)求解多面体、旋转体与球接、切问题的策略 ①过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题． ②利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或通过画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解． 三、三年真题再现 1．(2018·全国卷Ⅲ) 中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是(　　) A　[ 由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选A．] 2．(2018·全国卷Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥D­ABC体积的最大值为(　　) A．12　　　　　　 B．18 C．24 D．54 B　[由等边△ABC的面积为9可得AB2＝9， 所以AB＝6， 所以等边△ABC的外接圆的半径为r＝AB＝2． 设球的半径为R，球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d，则d＝＝＝2． 所以三棱锥D­ABC高的最大值为2＋4＝6，[来源:学科网ZXXK] 所以三棱锥D­ABC体积的最大值为×9×6＝18．] 3．(2017·全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为(　　) A．10 B．12 C．14 D．16 B　[ 观察三视图可知该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的，且直三棱柱的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，侧棱长为2.三棱锥的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，高为2，如图所示．因此该多面体各个面中有2个梯形，且这两个梯形全等，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2，故这些梯形的面积之和为2××(2＋4)×2＝12．] 4．(2017·全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为(　　) A．90π B．63π C．42π D．36π B　[方法一(割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示． 将圆柱补全，并将圆柱从点A处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的，所以该几何体的体积V＝π×32×4＋π×32×6×＝63π． 方法二(估值法)由题意知，V圆柱<V几何体<V圆柱．又V圆柱＝π×32×10＝90π，∴45π<V几何体<90π.观察选项可知只有63π符合．] 5．(2017·全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为(　　) A．π B． C． D． B　[设圆柱的底面半径为r，球的半径为R，且R＝1， 由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知， r，R及圆柱的高的一半构成直角三角形． ∴r＝＝．[来源:Z+xx+k.Com] ∴圆柱的体积为V＝πr2h＝π×1＝．] 6．(2019·江苏卷)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体＝Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示(单位：cm)，则该柱体的体积(单位：cm3)是(　　) A．158 B．162 C．182 D．324 B　[如图，该柱体是一个五棱柱，棱柱的高为6，底面可以看作由两个直角梯形组合而成，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3