板块1 专题1 小题自检13 导数及其简单应用（课件+练习）-2020高考理科数学【优化指导】高中总复习·第2轮（全国版）

小题自检13　导数及其简单应用 一、考情考向分析 以选择题或填空题形式考查导数及其简单应用时，一般有两个角度：一是根据导数的几何意义求解与切线有关的问题，二是用导数研究函数的性质问题．难度为中低档．[来源:学|科|网] 二、通关必备知识 1．审题思维必备 (1)看到切线问题，想到利用导数几何意义列方程求解． (2)看到与函数单调性、极值、最值有关问题时，想到利用导数求解． 2．解题方法必备 (1)与切线有关的解题方法 ①已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′(x0)； ②已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k； ③已知过某点M(x1，f(x1))(不是切点)的切线斜率为k时，常需设出切点A(x0，f(x0))，利用k＝求解． (2)利用导数研究函数单调性的步骤 ①确定函数f(x)的定义域； ②求f′(x)； ③求方程f′(x)＝0在定义域内的所有实数根； ④将函数f(x)的间断点(即f(x)无定义的点)的横坐标和各实数根按从小到大的顺序排列起来，分成若干个小区间； ⑤确定f′(x)在各小区间内的符号，由此确定每个区间的单调性． (3)利用导数研究函数极值、最值的方法 ①若求极值，则先求方程f′(x)＝0的根，再检查f′(x)在方程根的左右函数值的符号． ②若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f′(x)＝0根的大小或存在情况来求解． ③求函数f(x)在闭区间[a，b]的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值． 三、三年真题再现[来源:Zxxk.Com] 1．(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(　　) A．a＝e，b＝－1　　　　　 B．a＝e，b＝1 C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1 D　[∵y′＝aex＋ln x＋1，∴k＝y′|x＝1＝ae＋1， ∴切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)， 即y＝(ae＋1)x－1． ∵已知切线方程为y＝2x＋b， ∴解得] 2．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为(　　) A．y＝－2x B．y＝－x[来源:学科网] C．y＝2x D．y＝x D　[方法一　∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax， ∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a． 又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)恒成立， 即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x3－(a－1)x2－ax恒成立， ∴a＝1，∴f′(x)＝3x2＋1，∴f′(0)＝1， ∴曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x． 方法二　∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数， ∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a为偶函数， ∴a＝1，即f′(x)＝3x2＋1，∴f′(0)＝1， ∴曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x．] 3．(2017·全国卷Ⅱ)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则f(x)的极小值为(　　) A．－1 B．－2e－3 C．5e－3 D．1 A　[函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1， 则f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)·ex－1＝ex－1·[x2＋(a＋2)x＋a－1]． 由x＝－2是函数f(x)的极值点得f′(－2)＝e－3·(4－2a－4＋a－1)＝(－a－1)e－3＝0，所以a＝－1． 所以f(x)＝(x2－x－1)ex－1，f′(x)＝ex－1·(x2＋x－2)． 由ex－1＞0恒成立，得x＝－2或x＝1时，f′(x)＝0， 且x＜－2时，f′(x)＞0； －2＜x＜1时，f′(x)＜0；x＞1时，f′(x)＞0． 所以x＝1是函数f(x)的极小值点． 所以函数f(x)的极小值为f(1)＝－1．] 4．(2018·全国卷Ⅲ)曲线y＝(ax＋1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a＝________． －3　[∵y′＝(ax＋a＋1)ex，∴当x＝0时，y′＝a＋1， ∴a＋1＝－2，得a＝－3．] 5．(2019·全国卷Ⅰ)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0,0)处的切线方程为________． y＝3x　[y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝ex(3x2＋9x＋3)， ∴斜率k＝e0×3＝3，∴切线方程为y＝3x．] 6．(2018·全国卷Ⅱ)曲线y＝2ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为________． y＝2x　[∵y＝2ln(x＋1)，∴y′＝.令x＝0，得y′＝2，由切线的几何意义得切线斜率为2，