板块1 专题1 小题自检14 排列、组合与二项式定理（课件+练习）-2020高考理科数学【优化指导】高中总复习·第2轮（全国版）

小题自检14　排列、组合与二项式定理 一、考情考向分析 排列、组合在高中数学中占有特殊的位置，是高考的必考内容，一般是结合排列、组合知识计算古典概型，有时也单独命题；二项式定理仍以求二项展开式的特定项、特定项的系数及二项式系数为主，题目难度中低档，多出现在第9～10或第13～15题的位置． 二、通关必备知识 1．审题思维必备 (1)看到“在”与“不在”的排列问题，想到特殊优先原则． (2)看到相邻问题，想到捆绑法；看到不相邻问题，想到插空法． (3)看到分组分配问题，想到先分类，再在各类中分组后分配． (4)看到求二项式问题，想到二项式展开式． 2．解题方法必备 (1)解决排列、组合问题的方法策略 ①解排列组合问题要遵循两个原则： a．按元素(或位置)的性质进行分类； b．按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)． ②不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型： a．不均匀分组；b.均匀分组． ③部分均匀分组．注意各种分组类型中，不同分组方法的求解．[来源:学|科|网] (2)求解二项式定理相关问题的常用思路 ①二项式定理中最关键的是通项公式，求展开式中特定的项或者特定项的系数均是利用通项公式和方程思想解决的． ②二项展开式的系数之和通常是通过对二项式及其展开式中的变量赋值得出的，注意根据展开式的形式给变量赋值． 三、三年真题再现[来源:学科网ZXXK] 1．(2019·全国卷Ⅲ)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为(　　) A．12　　　 B．16　　　 C．20　　　 D．24[来源:学科网ZXXK] A　[方法一(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为1×C＋2C＝12． 方法二　∵(1＋2x2)(1＋x)4＝(1＋2x2)(1＋4x＋6x2＋4x3＋x4)，∴x3的系数为1×4＋2×4＝12．] 2．(2018·全国卷Ⅲ)5的展开式中x4的系数为(　　) A．10 B．20 C．40 D．80 C　[5的展开式的通项公式为 Tr＋1＝C·(x2)5－r·r＝C·2r·x10－3r， 令10－3r＝4，得r＝2． 故展开式中x4的系数为C·22＝40．] 3．(2017·全国卷Ⅰ)(1＋x)6展开式中x2的系数为(　　) A．15 B．20 C．30 D．35 C　[因为(1＋x)6的通项为Cxr，所以(1＋x)6展开式中含x2的项为1·Cx2和·Cx4． 因为C＋C＝2C＝2×＝30， 所以(1＋x)6展开式中x2的系数为30．] 4．(2017·全国卷Ⅲ)(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为(　　) A．－80 B．－40 C．40 D．80 C　[因为x3y3＝x·(x2y3)，其系数为－C·22＝－40， x3y3＝y·(x3y2)，其系数为C·23＝80． 所以x3y3的系数为80－40＝40．] 5．(2018·全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是(　　) A． B． C． D． C　[不超过30的所有素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，随机选取两个不同的数，共有C＝45种情况，而和为30的有7＋23,11＋19,13＋17这3种情况， ∴所求概率为＝．] 6．(2017·全国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有(　　) A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 D　[由题意可得其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为C·C·A＝36(种)，或列式为C·C·C＝3××2＝36(种)．] 7．(2018·全国卷Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字填写答案) 16　[方法1：按参加的女生人数可分两类：只有1位女生参加有CC种，有2位女生参加有CC种．故共有CC＋CC＝2×6＋4＝16(种)． 方法2：间接法．从2位女生，4位男生中选3人，共有C种情况，没有女生参加的情况有C种，故共有C－C＝20－4＝16(种)．] 8．(2019·浙江卷)在二项式(＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________． 16　5　[由二项展开式的通项公式可知Tr＋1＝C·()9－r·xr，r∈N,0≤r≤9， 当为常数项时，r＝0，T1＝C·()9·x0＝()9＝16． 当项的系数为有理数