板块1 专题1 小题自检15 圆锥曲线的方程与性质（课件+练习）-2020高考理科数学【优化指导】高中总复习·第2轮（全国版）

小题自检15　圆锥曲线的方程与性质 一、考情考向分析 圆锥曲线的方程与性质是每年高考必考内容，以选择题、填空题的形式考查，常出现在4－12题或15－16题的位置，重点考查圆锥曲线的几何性质与标准方程，难度中档． 二、通关必备知识 1．审题思维必备 (1)看到曲线上的点到两定点之和(之差的绝对值)，想到椭圆(双曲线)的定义． (2)看到抛物线中的点到焦点的距离，想到该点到准线的距离，反之亦然． (3)看到弦的中点，想到点差法． (4)看到焦点三角形，想到圆锥曲线的定义和余弦定理． 2．解题方法必备 (1)求解圆锥曲线标准方程的思路方法 ①定型，即指定类型，也就是确定圆锥曲线的类型、焦点位置，从而设出标准方程． ②计算，即利用待定系数法求出方程中的a2，b2或p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y2＝ax或x2＝ay(a≠0)，椭圆常设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)，双曲线常设为mx2－ny2＝1(mn>0)． (2)椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法 求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值． (3)双曲线的渐近线的求法及用法 ①求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得． ②用法：a.可得或的值；b.利用渐近线方程设所求双曲线的方程． (4)处理圆锥曲线与圆相结合问题的注意点 ①注意圆心、半径和平面几何知识的应用，如直径所对的圆周角为直角，构成了垂直关系；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形等． ②注意圆与特殊线的位置关系，如圆的直径与椭圆长轴(短轴)，与双曲线的实轴(虚轴)的关系；圆与过定点的直线、双曲线的渐近线、抛物线的准线的位置关系等． 三、三年真题再现 1．(2019·全国卷Ⅱ)若拋物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p＝(　　) A．2　　　 B．3　　　 C．4　　　 D．8 D　[拋物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为， 椭圆＋＝1的焦点坐标为(±，0)． 由题意得＝，解得p＝0(舍去)或p＝8．] 2．(2019·全国卷Ⅲ)双曲线C：－＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为(　　) A． B． C．2 D．3 A　[双曲线－＝1的右焦点坐标为(，0)，一条渐近线的方程为y＝x，不妨设点P在第一象限，由于|PO|＝|PF|，则点P的横坐标为，纵坐标为×＝，即△PFO的底边长为，高为，所以它的面积为××＝．] 3．(2019·全国卷Ⅱ)设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为(　　) A． B． C．2 D． A　[设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点F的坐标为(c,0)．由圆的对称性及条件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQ⊥OF.设垂足为M，连接OP，如图，[来源:Zxxk.Com] 则|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝.由|OM|2＋|MP|2＝|OP|2得2＋2＝a2，故＝，即e＝．] 4．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2,0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·＝(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 D　[由题意知直线MN的方程为y＝(x＋2)， 联立直线与抛物线的方程，得 解得或 不妨设M为(1,2)，N为(4,4)． 又∵抛物线焦点为F(1,0)，∴＝(0,2)，＝(3,4)． ∴·＝0×3＋2×4＝8．] 5．(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝(　　) A． B．3 C．2 D．4 B　[由已知得双曲线的两条渐近线方程为y＝±x． 设两渐近线夹角为2α，则有tan α＝＝，所以α＝30°． 所以∠MON＝2α＝60°． 又△OMN为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN⊥ON，如图所示． 在Rt△ONF中，|OF|＝2，则|ON|＝． 则在Rt△OMN中，|MN|＝|ON|·tan 2α＝·tan 60°＝3．] 6．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x A　[双曲线－＝1的渐近线方程为bx±ay＝0． 又∵离心率＝＝， ∴a2＋b2＝3a2.∴b＝a(a>0，b>0)． ∴渐近线方程为ax±ay＝0，即y＝±x．] 7．(2018·全国卷Ⅱ)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>