板块1 专题2 小题自检17 简单的三角恒等变换（课件+练习）-2020高考理科数学【优化指导】高中总复习·第2轮（全国版）

小题自检17　简单的三角恒等变换 一、考情考向分析 三角恒等变换是高考的一个热点，但作为选择题、填空题，本考点并不是年年考查，更多的是与三角函数图象、性质结合考查． 二、通关必备知识 1．审题思维必备 (1)看到化简求值问题，想到化简的基本思路：一角二名三结构． (2)看到asin x＋bsin x的形式，想到辅助角公式． 2．解题方法必备 三角恒等变换的“四大策略” ①常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°； ②项的分拆与角的拼凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α＋θ)－θ等； ③降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； ④弦、切互化：一般是切化弦． 三、三年真题再现 1．(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝(　　) A．　　　　　　　　　 B． C． D． B　[由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝2cos2α． 又∵α∈，∴tan α＝，∴sin α＝．] 2．(2018·全国卷Ⅲ)若sin α＝，则cos 2α＝(　　) A． B． C．－ D．－ B　[∵sin α＝，∴cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝．] 3．(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________． －　[∵sin α＋cos β＝1，① cos α＋sin β＝0，② ∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1，[来源:Z.xx.k.Com] ∴sin αcos β＋cos αsin β＝－， ∴sin(α＋β)＝－．] 4．(2019·北京卷)函数f(x)＝sin22x的最小正周期是________． 　[由降幂公式得f(x)＝sin22x＝＝－cos 4x＋，所以最小正周期T＝＝．] 5．(2019·江苏卷)已知＝－，则sin的值是________． 　[方法1：由＝＝＝－， 解得tan α＝2或－． sin＝(sin 2α＋cos 2α) ＝(2sin αcos α＋2cos2α－1) ＝(sin αcos α＋cos2α)－[来源:学_科_网Z_X_X_K] ＝·－ ＝·－， 将tan α＝2和－分别代入得sin＝． 方法2：∵＝＝－， ∴sin αcos＝－cos αsin.①[来源:学+科+网Z+X+X+K] 又sin＝sin ＝sincos α－cossin α＝，② 由①②，解得sin αcos＝－， cos αsin＝． ∴sin＝sin ＝sin αcos＋cos αsin＝．] 6．(2017·北京卷)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sin α＝，则cos(α－β)＝________． －　[由题意知α＋β＝π＋2kπ(k∈Z)， ∴β＝π＋2kπ－α(k∈Z)， sin β＝sin α，cos β＝－cos α． 又sin α＝， ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝－cos2α＋sin2α＝2sin2α－1 ＝2×－1＝－．] 课时作业(十七)　简单的三角恒等变换 1．(2019·河北保定一模)已知cos α＝－，且α为第二象限角，则sin 2α的值为(　　) A．　　　　　　　 B．－ C． D．－ B　[∵cos α＝－，且α为第二象限角，∴sin α＝＝，则sin 2α＝2sin α·cos α＝2××＝－．] 2．(2019·广东梅州二模)设角α的终边过点(2,3)，则tan＝(　　) A． B．－ C．5 D．－5 A　[∵角α的终边过点(2,3)，∴tan α＝＝． ∴tan＝＝＝．] 3．(2019·江西吉安一模)若sin(α＋π)＝，α∈，则＝(　　) A．－ B． C． D． B　[由sin(α＋π)＝，得－sin α＝，则sin α＝－． ∵α∈，∴cos α＝＝． ∴＝＝－2sin αcos α＝．] 4．(2019·广东佛山二模)已知cos α＝，α∈(－π，0)，则cos＝(　　) A．－ B．－ C． D． A　[∵cos α＝，α∈(－π，0)， ∴sin α＝－＝－， ∴cos＝cos αcos ＋sin αsin ＝×＋×＝－．][来源:Z。xx。k.Com] 5．(2019·河北唐山三模)已知sin α＋cos α＝2，则tan α＝(　　) A． B． C． D． D　[∵sin α＋cos α＝2， ∴2sin＝2，∴sin＝1， ∴cos＝0，∴α＋＝kπ＋，k∈Z，即α＝kπ＋，k∈Z，则tan α＝．] 6．(2019·江西九江二模)