板块1 专题2 小题自检18 解三角形（课件+练习）-2020高考理科数学【优化指导】高中总复习·第2轮（全国版）

小题自检18　解三角形 一、考情考向分析 正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考必考内容，但以选择题、填空题的形式考查，在全国卷中并不是每年都考，一般是直接考查正、余弦定理及面积公式，难度中低档． 二、通关必备知识 1．审题思维必备 (1)看到两边及一边对角或两角及一边，想到正弦定理；看到三边或两边及其夹角，想到余弦定理． (2)看到求面积，想到三角形的面积公式． (3)看到边、角混合的等式，想到“角”化“边”或“边”化“角”，及三角函数公式． 2．解题方法必备 解三角形问题的求解策略 已知条件 解题思路 两角A，B与一边a 由A＋B＋C＝π及＝＝，可先求出角C及b，再求出c 两边b，c及其夹角A 由a2＝b2＋c2－2bccos A，先求出a，再求出角B，C 三边a，b，c 由余弦定理可求出角A，B，C 两边a，b及其中一边的对角A 由正弦定理＝可求出另一边b的对角B，由C＝π－(A＋B)可求出角C，再由＝可求出c，而通过＝求角B时，可能有一解或两解或无解的情况；也可由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，求c，进而求B，C． 三、三年真题再现 1．(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝(　　) A．4　　　 B．　　　 C．　　　 D．2 A　[∵cos＝， ∴cos C＝2cos2－1＝2×2－1＝－． 在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC· cos C＝52＋12－2×5×1×＝32， ∴AB＝＝4．] 2．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C，的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则C＝(　　) A． B． C． D． C　[∵S＝absin C＝＝＝abcos C， ∴sin C＝cos C，即tan C＝1． ∵C∈(0，π)，∴C＝．][来源:Z,xx,k.Com] 3．(2017·山东卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos Asin C，则下列等式成立的是(　　) A．a＝2b B．b＝2a C．A＝2B D．B＝2A A　[∵等式右边＝sin Acos C＋(sin Acos C＋cos Asin C)＝sin Acos C＋sin(A＋C)＝sin Acos C＋sin B， 等式左边＝sin B＋2sin Bcos C， ∴sin B＋2sin Bcos C＝sin Acos C＋sin B． 由cos C>0，得sin A＝2sin B． 根据正弦定理，得a＝2b．] 4．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为________． 6　[由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B． 又∵b＝6，a＝2c，B＝， ∴36＝4c2＋c2－2×2c2×， ∴c＝2，a＝4， ∴S△ABC＝acsin B＝×4×2×＝6．] 5．(2018·浙江卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，A＝60°，则sin B＝________，c＝________． 　3　[(1)如图，由正弦定理＝，得sin B＝·sin A＝×＝． (2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc·cos A，得7＝4＋c2－4c×cos 60°， 即c2－2c－3＝0，解得c＝3或c＝－1(舍去)．] 6．(2019·浙江卷)在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上．若∠BDC＝45°，则BD＝________，cos ∠ABD＝________． 　　[ [来源:Z#xx#k.Com] 如图，易知sin∠C＝，cos∠C＝． 在△BDC中，由正弦定理可得 ＝， ∴BD＝＝＝． 由∠ABC＝∠ABD＋∠CBD＝90°， 可得cos∠ABD＝cos(90°－∠CBD)＝sin∠CBD ＝sin[π－(∠C＋∠BDC)] ＝sin(∠C＋∠BDC) ＝sin∠C·cos∠BDC＋cos∠C·sin∠BDC ＝×＋×＝．] 7．(2017·浙江卷)已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2.点D为AB延长线上一点，BD＝2，连接CD，则△BDC的面积是________，cos∠BDC＝________． 　　[ 依题意作出图形，如图所示， 则sin∠DBC＝sin∠ABC． 由题意知AB＝AC＝4，BC＝BD＝2， 则sin∠ABC＝，cos∠ABC＝． 所以S△BDC＝BC·BD·sin∠DBC ＝×2×2×＝． 因为cos∠DBC＝－cos∠ABC＝－＝ ＝，所以CD＝． 由余弦定理，得cos∠BD