专题06　二次函数与幂函数-2019高考理科数学【高考高手】3年高考真题透析2年模拟试题精选

专题六　二次函数与幂函数 对应学生用书起始页码P22 考纲内容 高考考点 考查频度 学科素养 规律与趋向 1.理解二次函数的图象和性质,能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题. 2.了解幂函数的概念. 3.结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=,y=的图象,了解它们的变化情况. 12.二次函数及其应用 3年0考 ☆☆☆ 数学运算 直观想象 1.高频考向:与二次函数相关的最值问题. 2.低频考向:幂函数的图象与性质的应用. 3.特别关注:与二次函数相关的二次方程、二次不等式的综合应用 13.幂函数 3年1考 ★☆☆ 数学抽象 数学运算 2016~2018 对应学生用书起始页码P22 1.(2017浙江,5,5分,难度★)若函数f(x)=x2+ax+b在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.与a有关,且与b有关 B.与a有关,但与b无关 C.与a无关,且与b无关 D.与a无关,但与b有关 答案 B　因为最值在f(0)=b,f(1)=1+a+b,f=b-中取,所以最值之差一定与a有关,与b无关,故选B. 2.(2015四川,理9,5分,难度★★)如果函数f(x)=(m-2)x2+(n-8)x+1(m≥0,n≥0)在区间上单调递减,那么mn的最大值为(　　) A.16 B.18 C.25 D. 答案 B　f'(x)=(m-2)x+(n-8),由于f(x)在上单调递减, 所以f'(x)≤0在上恒成立,即(m-2)x+(n-8)≤0在上恒成立, 于是 又m≥0,n≥0,所以 画出满足上述不等式组的点(m,n)所对应的平面区域(如图). 得B(0,9),C(6,0),由可得A(2,8). 当0≤m≤2时,mn≤m=-m2+9m=-(m-9)2+,当m=2时,mn取最大值16; 当2<m≤6时,mn≤m(12-2m)=-2m2+12m=-2(m-3)2+18,当m=3时,mn取最大值18.故mn的最大值为18. 3.(2018天津,理14,5分,难度★★★)已知a>0,函数f(x)=若关于x的方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解,则a的取值范围是　　　　　.  答案 (4,8)　由f(x)=ax,可得 当x≤0时,x2+2ax+a=ax,即x2+ax+a=0,可得a=-. 由a>0,可得x<-1. 可设函数g(x)=-,其中x∈(-∞,-1). 当x>0时,-x2+2ax-2a=ax,即x2-ax+2a=0,可得a=. 由a>0,可得x>2. 可设函数h(x)=,其中x∈(2,+∞). 对g(x)求导,可得g'(x)=-.令g'(x)<0,可得x<-2; 令g'(x)>0,可得-2<x<-1,则g(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,-1)上单调递增. 同理可得h(x)在(2,4)上单调递减,在(4,+∞)上单调递增. 画出g(x)和h(x)的大致图象如图所示. 由图可知,满足题意的a的取值范围是(4,8). 4.(2018浙江,15,6分,难度★★)已知λ∈R,函数f(x)=当λ=2时,不等式f(x)<0的解集是　　　　　.若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是　　　　　.  答案 (1,4)　(1,3]∪(4,+∞) 当λ=2时,f(x)= 当x≥2时,f(x)=x-4<0,解得x<4, ∴2≤x<4. 当x<2时,f(x)=x2-4x+3<0,解得1<x<3, ∴1<x<2. 综上可知,1<x<4,即f(x)≤0的解集为(1,4). 分别画出y1=x-4和y2=x2-4x+3的图象如图, 由函数f(x)恰有2个零点,结合图象可知1<λ≤3或λ>4. 故λ的取值范围为(1,3]∪(4,+∞). (2016全国3,理6,5分,难度★★)已知a=,b=,c=2,则(　　)[来源:学科网] A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b 答案 A　因为a==b,c=2=a,所以b<a<c. 高 考 考 点 错 题 统 计 强 化 练 习 12.二次函数及其应用 1□　2□　3□　4□ A组:2,4,6　B组:1,3,4,5 13.幂函数 □ A组:1,3,5,7　B组:2 对应学生用书起始页码P22 1.二次函数解析式的三种表示法[来源:学。科。网Z。X。X。K] (1)一般式:y=ax2+bx+c(a≠0),图象的对称轴是直线x=-,顶点坐标是; (2)顶点式:y=a(x-x0)2+h(a≠0),图象的对称轴是直线x=x0,顶点坐标是(x0,h); (3)两根式:y=a(x-x1)·(x-x2)(a≠0),其中x1,x2是方程ax2+bx+c=0的两根,图象的对称轴是直线x=. 注意:对