专题09　函数与方程、函数的应用-2019高考理科数学【高考高手】3年高考真题透析2年模拟试题精选

专题九　函数与方程、函数的应用 对应学生用书起始页码P36 考纲内容 高考考点 考查频度 学科素养 规律与趋向 1.结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数. 2.根据具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似解. 19.函数零点及其应用 3年3考 ★★★ 数学抽象 直观想象[来源:学|科|网] 1.高频考向:函数零点的应用. 2.低频考向:函数模型及其应用. 3.特别关注: 函数的零点与方程根的分布问题、函数的性质等相结合求解参数问题以及与导数融合的综合性问题. 3.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征,结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义. 4.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用. 20.函数模型及其应用 3年0考 ☆☆☆ 数学建模[来源:学,科,网Z,X,X,K] 数学运算 2016~2018 对应学生用书起始页码P36 1.(2018全国1,理9,5分,难度★★★)已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x+a,若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.[-1,0) B.[0,+∞) C.[-1,+∞) D.[1,+∞) 答案 C　要使得方程g(x)=f(x)+x+a有两个零点,等价于方程f(x)=-x-a有两个实根,即函数y=f(x)的图象与直线y=-x-a的图象有两个交点,从图象可知,必须使得直线y=-x-a位于直线y=-x+1的下方,所以-a≤1,即a≥-1.故选C. 2.(2017全国3,理11,5分,难度★★★)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a=(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.- B. C. D.1 答案 C　∵f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1), ∴f(2-x) =(2-x)2-2(2-x)+a[e2-x-1+e-(2-x)+1] =x2-4x+4-4+2x+a(e1-x+ex-1) =x2-2x+a(ex-1+e-x+1), ∴f(2-x)=f(x),即x=1为f(x)图象的对称轴. ∵f(x)有唯一零点,∴f(x)的零点只能为1, 即f(1)=12-2×1+a(e1-1+e-1+1)=0,解得a=. 3.(2016天津,理8,5分,难度★★★)已知函数f(x)=(a>0,且a≠1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2-x恰有两个不相等的实数解,则a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案 C　由函数f(x)在R上单调递减,可得解得≤a≤. 当x≥0时,由f(x)=0得x0=-1. 又∵a≥,∴-1≤2,即x0∈(0,2]. 如图,作出y=|loga(x+1)+1|(x≥0)的图象,由图知当x≥0时,方程|f(x)|=2-x只有一解. 当x<0时,|f(x)|=2-x,即x2+(4a-3)x+3a=2-x只有一负实根, 整理得x2+(4a-2)x+3a-2=0,Δ=(4a-2)2-4×1×(3a-2)=4(4a2-7a+3)=4(4a-3)(a-1). (1)当Δ=0时,解得a=或a=1. 又∵a∈,∴a=. 此时方程的解为x=-,符合题意. (2)当Δ>0时,解得a<或a>1. 又∵a∈,∴a∈. ①方程有一负根x0和一零根,则有x0·0=3a-2=0,解得a=. 此时x0+0=2-4a=-<0,符合题意. ②方程有一正根x1和一负根x2, 则有x1·x2=3a-2<0,解得a<. 又a∈,∴a∈. 由(1)(2)可知,a的取值范围为. 4.(2018全国3,理15,5分,难度★★)函数f(x)=cos在[0,π]的零点个数为　　　　　.  答案 3　令f(x)=cos=0,得3x++kπ,k∈Z,∴x=,k∈Z.则在[0,π]的零点有.故有3个. (2016四川,理5,5分,难度★★)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(　　)(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30) A.2018年 B.2019年 C.2020年 D.2021年 答案 B　设从2015年后第n年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元, 由已知得130×(1+12%)n>200, ∴1.12n>,两边取常用对数得nlg 1.12>lg, ∴n>=3.8. ∴n≥4,故选B. 高 考 考 点 错 题 统 计 补 偿 练 习