专题16　三角恒等变换-2019高考理科数学【高考高手】3年高考真题透析2年模拟试题精选

专题十六　三角恒等变换 对应学生用书起始页码P69 考纲内容 高考考点 考查频度 学科素养 规律与趋向 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式. 3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系. 4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆). 35.三角函数式的化简与求值 3年3考 ★★★ 逻辑推理 数学运算 1.高频考向:三角函数式的化简与求值. 2.低频考向:三角函数的恒等变换的证明. 3.特别关注: (1)结合诱导公式、两角和差公式、二倍角公式考查三角化简,进一步考查三角函数的性质; (2)三角化简与平面向量相结合问题. 36.与三角函数化简求值相关的综合问题 3年1考 ★☆☆ 逻辑推理 数学运算 [来源:学|科|网] 2016~2018 对应学生用书起始页码P69 1.(2018全国3,理4,5分,难度★)若sin α=,则cos 2α=(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C.- D.- 答案 B　cos 2α=1-2sin2α=1-2×. 2.(2016全国2,理9,5分,难度★★)若cos,则sin 2α=(　　) A. B. C.- D.- 答案 D　cos 2=2cos2-1=2×-1=-,且cos 2=cos=sin 2α,故选D. 3.(2018全国2,理15,5分,难度★★)已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)=　　　　　　.  答案 -　∵(sin α+cos β)2+(cos α+sin β)2=1, ∴sin2α+cos2β+cos2α+sin2β+2sin αcos β+2sin βcos α=1+1+2sin(α+β)=1. ∴sin(α+β)=-. 1.(2014全国1,理8,5分,难度★★)设α∈,β∈,且tan α=,则(　　) A.3α-β= B.3α+β= C.2α-β= D.2α+β= 答案 C　由已知,得,∴sin αcos β=cos α+cos αsin β.∴sin αcos β-cos αsin β=cos α.∴sin(α-β)=cos α,∴sin(α-β)=sin.∵α∈,β∈,∴-<α-β<,0<-α<,∴α-β=-α,∴2α-β=.故选C.[来源:学科网] 2.(2017天津,理15,5分,难度★★)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a>b,a=5,c=6,sin B=. (1)求b和sin A的值; (2)求sin的值. 解 (1)在△ABC中,因为a>b,故由sin B=,可得cos B=.由已知及余弦定理,有b2=a2+c2-2accos B=13,所以b=.由正弦定理,得sin A=.所以,b的值为,sin A的值为. (2)由(1)及a<c,得cos A=,所以sin 2A=2sin Acos A=,cos 2A=1-2sin2A=-. 故sin=sin 2Acos+cos 2Asin. 高 考 考 点 错 题 统 计 强 化 练 习 35.三角函数式的化简与求值 1□　2□　3□ A组:1,2,4,5,6,11　B组:1,2,3,6,7 36.与三角函数化简求值相关的综合问题 1□　2□ A组:3,7,8,9,10,12　B组:4,5 对应学生用书起始页码P70 1.两角和与差的三角函数公式 (1)两角和与差的正弦公式:sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β,α,β∈R;  (2)两角和与差的余弦公式:cos(α±β)=cos αcos β∓sin αsin β,α,β∈R;  (3)两角和与差的正切公式:tan(α±β)=,α,β,α±β≠+kπ(k∈Z); (4)两角和与差的正切公式的逆用: tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β); tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β). 2.二倍角公式 (1)二倍角的正弦公式:sin 2α=2sin αcos α; [来源:学#科#网] (2)二倍角的余弦公式:cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α; (3)二倍角的正切公式:tan 2α=; (4)降幂公式:sin αcos α=sin 2α;sin2α=;cos2α=; (5)升幂公式:1+sin 2α=(sin α+cos α)2;1+cos 2α=2cos2α;1-cos 2α=2sin2α; (6)sin 2α=;