专题20　数列的概念及其简单表示-2019高考理科数学【高考高手】3年高考真题透析2年模拟试题精选

第六章　数列 专题二十　数列的概念及其简单表示 对应学生用书起始页码P88 考纲内容 高考考点 考查频度 学科素养 规律与趋向 了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式). 45.数列的通项公式 3年0考 ☆☆☆ 数学抽象 逻辑推理 数据分析 1.高频考向:利用an与Sn的关系求通项,递推数列求通项. 2.低频考向:数列的周期性、单调性及最值. 3.特别关注: (1)构造特殊数列求通项; (2)利用数列的单调性求参数范围或数列项的最值. 了解数列是自变量为正整数的一类函数. 46.数列性质的应用 3年0考 ☆☆☆ 数学抽象 数据分析 2016~2018 对应学生用书起始页码P88 　(2016浙江,理13,5分,难度★★)设数列{an}的前n项和为Sn,若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*,则a1=　　　　　,S5=　　　　　.  答案 1　121　由题意,可得a1+a2=4,a2=2a1+1,所以a1=1,a2=3. 再由an+1=2Sn+1,an=2Sn-1+1(n≥2), 得an+1-an=2an,即an+1=3an(n≥2). 又因为a2=3a1,所以数列{an}是以1为首项,3为公比的等比数列.所以S5==121. 　(2014辽宁,理8,5分,难度★★)设等差数列{an}的公差为d,若数列{}为递减数列,则(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.d<0 B.d>0 C.a1d<0 D.a1d>0 答案 C　∵数列{}为递减数列, ∴,n∈N*, ∴a1an>a1an+1,∴a1(an+1-an)<0. ∵{an}为公差为d的等差数列, ∴a1d<0.故选C. 高 考 考 点 错 题 统 计 强 化 练 习 45.数列的通项公式 □ A组:1,2,3,4,5　B组:5 46.数列性质的应用 □ A组:6,7,8　B组:1,2,3,4 对应学生用书起始页码P88 1.数列的通项公式:若项an与项数n之间的关系可用公式an=f(n),n∈N*来表示,则该公式叫做数列{an}的通项公式.并不是每一个数列都有通项公式,有通项公式的数列,其通项公式也不一定唯一. 2.递推公式:如果已知数列{an}的首项(或某一项),且任一项an与它的前一项(或后一项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.利用递推公式可求数列的某一项,也可用来求数列的通项公式. 3.数列的通项an与前n项和Sn的关系:an= . 当n=1时,若S1适合an=Sn-,则n=1的情况可并入n≥2时的通项an中;若S1不适合an=Sn-,则用分段函数的形式表示. 注意:求解通项公式时应分类讨论n=1和n≥2两种情况. 对应学生用书起始页码P89 一、由递推公式求数列通项的方法 方法 解　　读 典例指引 累加法 对于形如-an=f(n)的数列的递推关系式,若f(1)+f(2)+…+f(n)的和是可求的,可用多项式相加求得an,也称这种方法为叠加法 例1(1) 累乘法 对于形如=f(n)的数列的递推关系式,若f(1)·f(2)·…·f(n)的积是可求的,则可用多项式相乘求得an,也称这种方法为叠乘法 例1(2) 构造法 ①形如=pan+q(其中p,q均为常数,pq(p-1)≠0)的递推公式,把原递推公式转化为-t=p(an-t),其中t=,构造=p,即{an-t}是以a1-t为首项,p为公比的等比数列. ②形如=pan+qn(其中p,q均为常数,pq(p-1)≠0),要在递推公式两边同除以,转化为=mbn+t型 ③形如=d,可通过取倒数转化为等差数列求通项 例1(5) 根据下列条件,求数列{an}的通项公式. (1)a1=2,an+1=an+ln; (2)a1=,an=an-1(n≥2); (3)a1=1,an+1=2an+3; (4)a1=1,an=; (5)a1=3,an+1=. 解 (1)∵an+1=an+ln,∴an+1-an=ln, ∴an-an-1=ln(n≥2), an-1-an-2=ln,…,a2-a1=ln(n≥2). ∴an-a1=ln+ln+…+ln=ln n(n≥2), 即an=ln n+2(n≥2). 又a1=2,∴an=ln n+2. (2)∵an=an-1(n≥2),∴当n≥2时,, ∴,…,. 以上n-1个式子相乘得·…··…·, 即×2×1,∴an=(n≥2). 当n=1时,a1=,也与已知a1=相符, ∴数列{an}的通项公式为an=. (3)设递推公式an+1=2an+3可以转化为an+1-t=2(an-t),即an+1=2an-t,解得t=-3,故递推公式为an+1+3=2(an+3). 令b