专题3.2 立体几何中的向量方法（第二课时）-2019-2020学年新高考数学选修系列题型详解（人教版）

专题3.2 立体几何中的向量方法（第二课时） 思维导图 题型讲解 题型一 线线角 【例1】（2019·黑龙江哈尔滨市第六中学校高二期中（文））如图，在正方体中，分别是的中点．求证： （1）求证：平面 （2）求异面直线与所成角的余弦值. 【举一反三】 1．（2019·上海市南洋模范中学高三）如图，长方体中，. （1）求四棱锥的体积； （2）求异面直线与所成角的正切值． 题型二 线面角 【例2】（2018·上海市七宝中学高三月考）如图，已知正四棱锥的高为，底面边长为，是棱的中点 （1）求直线与平面所成角的大小； （2）求点到平面的距离. 【举一反三】 1．（2019·重庆高三（理））如图，在四棱锥中，底面是矩形，是的中点，与交于点，平面，，，． （1）求证；平面平面 （2）求直线与平面所成角的正弦值． 2（2019·浙江高三）已知棱台，平面平面，，，，D，E分别是和的中点。 （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）求与平面所成角的余弦值。 题型三 二面角 【例3】（2019·四川高三月考（理））如图，在长方形中，，，点是的中点.将沿折起，使平面平面，连结、、. （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【举一反三】 1（2019·河南高三（理））如图，在矩形中，，，点是边上一点，且，点是的中点，将沿着折起，使点运动到点处，且满足. （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值. 2．（2019·重庆高三（理））在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABCD，四边形ABCD为等腰梯形，，且，AD＝AE＝1，∠ABC＝60°，EF=AC，且EFAC． （Ⅰ）证明：AB⊥CF； （Ⅱ）求二面角B﹣EF﹣D的余弦值． 强化练习 1．（2019·上海市新中高级中学高二月考）在三棱柱中，是正三角形，，点在底面上的射影恰好是中点，侧棱和底面成角. （1）求证：； （2）求二面角的大小； （3）求直线与平面所成角的大小. 2．（2019·黑龙江高三（文））如图，在几何体中，，平面平面，,为的中点. （1）证明：∥平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 3．（2019·湖南高三（理））在等腰梯形中，，，，点为的中点.现将沿线段翻折，得四棱锥，且二面角为直二面角. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值. 4．（2019·上海华师大二附中高三）如图，三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC＝AC＝2，AB＝BC，D是PB上一点，且CD⊥平面PAB． （1）求证：AB⊥平面PCB； （2）求二面角C﹣PA﹣B的大小的余弦值． 5．（2018·上海格致中学高三月考）如图所示，在三棱锥中，平面，且垂足在棱上，，，，. （1）证明：△为直角三角形； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 6．（2019·上海市实验学校高三月考）如图，在正四棱锥中，，，分别为，的中点． （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 7．（2019·云南民族中学高三月考）如图所示，在四棱锥中，底面，，，， ， ，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值 8．（2019·广东实验中学高三月考（理））如图，矩形ABCD中，AD＝2AB＝4，E为BC的中点，现将△BAE与△DCE折起，使得平面BAE及平面DEC都与平面ADE垂直． （1）求证：BC∥平面ADE； （2）求二面角A﹣BE﹣C的余弦值． 9．（2019·浙江诸暨中学高二月考）如图：在四棱锥中，平面.，，.点是与的交点，点在线段上且. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求二面角的正切值. 10．（2019·天津高三开学考试）如图，在三棱锥中，平面平面，，，若为的中点. （1）证明：平面； （2）求异面直线和所成角； （3）设线段上有一点，当与平面所成角的正弦值为时，求的长. 11．（2019·云南师大附中高三月考（理））如图甲，在直角梯形中，，，，过作，垂足为，现将沿折叠，使得．取的中点，连接，，，如图乙． 甲 乙 (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值 12．（2019·安徽高三月考（理））如图所示，在四棱锥中，，平面PAB，，E为线段PB的中点 （1）证明：平面PDC； （2）求直线DE与平面PDC所成角的正弦值. 13．（2019·山西高二月考（理））如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为的中点． （1）证明：． （2）求二面角的余弦值． 14．（2019·四川高三月考（理））如图，在四棱锥中，底面，是边长为的正方形．且，点是的中点． （1）求证：； （2）求平面与平面所成锐二面角的大小． 15．（2019·山西高三月考）已知三棱锥中，为等腰直角三角形，，设点为中点，点为中点，点为上一点，且． （1）证明：平面； （2）