专题9.5 椭圆（讲）-2020年高考数学一轮复习讲练测（江苏版）

2020年高考数学一轮复习讲练测 专题9.5 椭圆——讲 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用； 2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 知识点一：椭圆的定义及其应用 1.椭圆的概念 (1)文字形式：在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点 ，两焦点间的距离叫做焦距． (2)代数式形式：集合 ①若，则集合P为椭圆； ②若，则集合P为线段； ③若，则集合P为空集． 2.椭圆的标准方程：焦点在轴时，；焦点在轴时， 知识点二：椭圆的标准方程 1. 椭圆的标准方程： （1）焦点在 轴， ； （2）焦点在 轴， . 2．满足条件： 知识点三：椭圆的几何性质 椭圆的标准方程及其几何性质 条件 图形 标准方程 范围 对称性 曲线关于 轴、原点对称 曲线关于 轴、原点对称 顶点 长轴顶点 ,短轴顶点 长轴顶点 ,轴顶点 焦点 焦距 离心率 ，其中 EMBED Equation.DSMT4 通径 过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为 知识点四：直线与椭圆的位置关系 1.直线与椭圆位置关系的判断 (1)代数法：把椭圆方程与直线方程联立消去y，整理得到关于x的方程Ax2＋Bx＋C＝0.记该一元二次方程根的判别式为Δ，①若Δ＞0，则直线与椭圆相交；②若Δ＝0，则直线与椭圆相切；③若Δ＜0，则直线与椭圆相离． (2)几何法：在同一直角坐标系中画出椭圆和直线，利用图象和性质可判断直线与椭圆的位置关系． 2．直线与椭圆的相交长问题： （1）弦长公式：设直线与椭圆有两个公共点则弦长公式为或． （2）弦中点问题，适用“点差法”. 考点一：椭圆的定义及其应用 【典例1】 已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆的一个动点，如果M是线段F1P的中点，那么动点M的轨迹是________． 【变式1】 已知F1、F2是椭圆C：.若△PF1F2的面积为9，则b＝________. ⊥＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且＋ 【思想方法】 1. 涉及到动点到两定点距离之和为常数的问题，可直接用椭圆定义求解． 2.涉及椭圆上点、焦点构成的三角形问题，往往利用椭圆定义、勾股定理或余弦定理求解. 【温馨提醒】应用椭圆的定义，可以得到结论：（1）椭圆上任意一点P(x，y)(y≠0)与两焦点F1(－c,0)，F2(c,0)构成的△PF1F2称为焦点三角形，其周长为2(a＋c)． (2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边，a2＝b2＋c2. 考点二：椭圆的标准方程 【典例2】 已知椭圆C：的左右焦点为F1,F2离心率为，过F2的直线l交C与A,B两点，若△AF1B的周长为，则C的方程为________． 【变式2】 求满足下列各条件的椭圆的标准方程： (1)长轴是短轴的3倍且经过点； (2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为； 【思想方法】 1．求椭圆标准方程的方法 求椭圆的标准方程，除了直接根据定义外，常用待定系数法(先定性，后定型，再定参)． 当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设方程为 ，可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为 (A＞0，B＞0且A≠B)，这种形式在解题中更简便． 2．椭圆的标准方程有两种形式，其结构简单，形式对称且系数的几何意义明确，在解题时要防止遗漏，要深刻理解椭圆中的几何量等之间的关系，并能熟练地应用． 【温馨提醒】1.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤是： (1)作判断：根据条件判断焦点的位置． (2)设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为 ． (3)找关系：根据已知条件，建立关于的方程组． (4)求解，得方程． 2．(1)方程与有相同的离心率． (2)与椭圆共焦点的椭圆系方程为，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便． 考点三：椭圆的几何性质 【典例3】 已知椭圆C：的左、右焦点为、，离心率为，过的直线交C于A、B两点，若的周长为，则C的方程为________． 【变式3】 设是椭圆上一点，是椭圆的两个焦点，________． 【思想方法】 1.在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆的几何特征，建立关于参数c、a、b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．较多时候利用解题； 2.对焦点三角形的处理方法，通常是运用. 【温馨提醒】1.学习中，要注意椭圆几何性质的挖掘： (1)椭圆中有两条对称轴，“六点”(两个焦点、四个顶点)，要注意它们之间的位置关系(如焦点在长轴上等)以及相互间的距离(如焦点到相应顶点的距离为a