专题52 几何关系巧解圆锥曲线问题-备战2020年高考数学之高三复习大一轮热点聚焦与扩展【学科网名师堂】

第八篇 平面解析几何 专题52 几何关系巧解圆锥曲线问题 【热点聚焦与扩展】 解决圆锥曲线中的范围、最值问题一般有三种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解；三是通过建立不等式、解不等式求解. 本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明利用几何关系解答圆锥曲线的综合问题，特别是最值（范围）问题的常见解法. 1、利用几何关系求最值的一般思路: （1）抓住图形中的定点与定长，通常与求最值相关 （2）遇到线段和差的最值，经常在动点与定点共线的时候取到.因为当动点与定点不共线时，便可围成三角形，从而由三角形性质可知两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，无法取得最值.所以只有共线时才有可能达到最值.要注意动点与定点相对位置关系.一般的，寻找线段和的最小值，则动点应在定点连成的线段上；若寻找线段差的最小值，则动点应在定点连成的线段延长线上. （3）若所求线段无法找到最值关系，则可考虑利用几何关系进行线段转移，将其中某些线段用其它线段进行表示，进而找到最值位置 （4）处理多个动点问题时，可考虑先只让一个动点运动，其他动点不动，观察此动点运动时最值选取的规律，再根据规律让其他点动起来，寻找最值位置. 2、常见的线段转移： （1）利用对称轴转移线段 （2）在圆中，可利用与半径相关的直角三角形（例如半弦，圆心到弦的垂线，半径；或是切线，半径，点与圆心的连线）通过勾股定理进行线段转移. （3）在抛物线中，可利用“点到准线的距离等于该点到焦点的距离”的特点进行两个距离的相互转化. （4）在椭圆中，利用两条焦半径的和为常数，可将一条焦半径转移至另一条焦半径 （5）在双曲线中，利用两条焦半径的差为常数，也可将一条焦半径转移至另一条焦半径（注意点在双曲线的哪一支上） 3、与圆相关的最值问题： （1）已知圆及圆外一定点，设圆的半径为则圆上点到点距离的最小值为，最大值为（即连结并延长，为与圆的交点，为延长线与圆的交点 （2）已知圆及圆内一定点，则过点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦 解：，弦长的最大值为直径，而最小值考虑弦长公式为，若最小，则要取最大，在圆中为定值，在弦绕旋转的过程中， ，所以时，最小 （3）已知圆和圆外的一条直线，则圆上点到直线距离的最小值为，距离的最大值为（过圆心作的垂线，垂足为，与圆交于，其反向延长线交圆于 （4）已知圆和圆外的一条直线，则过直线上的点作圆的切线，切线长的最小值为 解：，则若最小，则只需最小即可， 所以点为过作垂线的垂足时，最小 过作圆的切线，则切线长最短 4、与圆锥曲线相关的最值关系： （1）椭圆：设椭圆方程为 ① 焦半径：焦半径的最大值为，最小值为 ② 焦点弦：焦点弦长的最小值称为通径，为，此时焦点弦与焦点所在的坐标轴垂直 （2）双曲线：设双曲线方程为 ① 焦半径：焦半径的最小值为，无最大值 ② 焦点弦：焦点弦长的最小值称为通径，为，此时焦点弦与焦点所在的坐标轴垂直 （3）抛物线：设抛物线方程为 ① 焦半径：由抛物线的焦半径公式可知：焦半径的最小值为原点到焦点的距离，即 ② 焦点弦：当焦点弦与焦点所在坐标轴垂直时，弦长最小，为 【经典例题】 例1.（2019·山东高考模拟（理））已知，若点是抛物线上任意一点，点是圆上任意一点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 例2.（2019·江西临川一中高三月考（文））已知点是椭圆上非顶点的动点，分别是椭圆的左、右焦点，为坐标原点，若为的平分线上一点，且，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 例3.已知点在抛物线的准线上，过点作抛物线的切线，若切点在第一象限，是抛物线的焦点，点在直线上，点在圆上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 例4.（2018届湖南省长沙市长郡中学模拟二）已知椭圆：的右焦点为，短轴的一个端点为，直线：交椭圆于，两点，若，点与直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 例5.（2018届天津市部分区质量调查（二））设分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，过左焦点作直线与圆切于点，与双曲线右支交于点，且满足， ，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 例6.（2018届浙江省绍兴市5月调测）点为棱长是2的正方体的内切球球面上的动点，点为的中点，若满足，则与面所成角的正切值的最小值是（ ） A.