专题55 圆锥曲线的探索性、存在性问题-备战2020年高考数学之高三复习大一轮热点聚焦与扩展【学科网名师堂】

第八篇 平面解析几何 专题55 圆锥曲线的探索性、存在性问题 【热点聚焦与扩展】 本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明利探索性、存在性问题的解法. 1、在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素（点，线，图形或是参数）存在，并用代数形式进行表示.再结合题目条件进行分析，若能求出相应的要素，则假设成立；否则即判定不存在 2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替 （1）点：坐标 （2）直线：斜截式或点斜式（通常以斜率为未知量） （3）曲线：含有未知参数的曲线标准方程 3、解决存在性问题的一些技巧： （1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立. （2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去. （3）核心变量的求法： ①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解 ②间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变量的方程（组），运用方程思想求解. 4.探索性问题命题背景宽，涉及知识点多，综合性强，探究平分面积的线、平分线段的线，或探究等式成立的参数值，探索定点、定值的存在性等．常与距离、倾斜角、斜率及方程恒成立问题综合，形成知识的交汇．化解探索性问题的方法：首先假设所探求的问题结论成立、存在等，在这个假设下进行推 理论证，如果 得到了一个合情合理的推理结果，就肯定假设，对问题做出正面回答，如果得到一个矛盾的结果，就否定假设，对问题作出反面回答．在这个解题思路指导下解决探索性问题与解决具 有明确结论的问题没有什么差别． 【经典例题】 例1.（2019·山东高考模拟（理））已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为，是椭圆上的一个动点，且面积的最大值为. （1）求椭圆的方程； （2）设直线斜率为，且与椭圆的另一个交点为，是否存在点，使得若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 例2．（2019·江西师大附中高三（理））已知椭圆的焦距为4，点P（2，3）在椭圆上． （1）求椭圆C的方程； （2）过点P引圆的两条切线PA，PB，切线PA，PB与椭圆C的另一个交点分别为A，B，试问直线AB的斜率是否为定值？若是，求出其定值，若不是，请说明理由． 例3. （2019·全国高考真题（文））已知是椭圆的两个焦点，P为C上一点，O为坐标原点． （1）若为等边三角形，求C的离心率； （2)如果存在点P，使得，且的面积等于16，求b的值和a的取值范围. 例4．（2019·上海高三）给定椭圆：，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“伴椭圆”，若椭圆的一个焦点为，其短轴上一个端点到的距离为. （1）求椭圆的方程； （2）过点作椭圆的“伴随圆”的动弦，过点、分别作“伴随圆”的切线，设两切线交于点，证明：点的轨迹是直线，并写出该直线的方程； （3）设点是椭圆的“伴随圆”上的一个动点，过点作椭圆的切线、，试判断直线、是否垂直？并说明理由. 例5．（2018·上海市南洋模范中学高三开学考试）已知椭圆，不过原点的直线l与椭圆相交于A，B两点，设直线OA，l，OB分别为，k，，且，k，恰好构成等比数列，记的面积为S． （1）试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． （2）求S的最大值． 例6.（2018届浙江省金华市浦江县高考适应）设椭圆左右焦点为上顶点为,离心率为且. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设是轴正半轴上的一点，过点任作直线与相交于两点，如果，是定值，试确定点的位置，并求的最大值. 例7.（2018届广东省东莞市考前冲刺）在直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，若椭圆：经过点，抛物线和椭圆有公共点，且. （1）求抛物线和椭圆的方程； （2）是否存在正数，对于经过点且与抛物线有两个交点的任意一条直线，都有焦点在以为直径的圆内？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 例8.（2018届山东省日照市校际联考）已知椭圆：的焦距为，以椭圆的右顶点为圆心的圆与直线相交于，两点，且，. （1）求椭圆的标准方程和圆的方程； （2）不过原点的直线与椭圆交于，两点，已知直线，，的斜率，，成等比数列，记以线段，线段为直径的圆的面积分别为，，的值是否为定值？若是，求出此值；若不是，说明理由. 例9.（2018届江西省重点中学协作体第二次联考）已知椭圆： 的离心率为，短轴为.点满足. (1)求椭圆的方程； (2)设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于点、，是否存在常数使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 例10.（2019·广东广雅中学高三开学考试（文））在平面直角坐标系中，过定