01 圆锥曲线中最值与范围问题的方法突破-2019年11月刊高二数学《中学生数理化》

圆锥曲线中最值与范围问题的方法突破 ■河南科技大学附属高级中学 许 哲 圆锥曲线中的最值与范围问题是高考解答 题的重点与难点之一。解决圆锥曲线中最值、 范围问题的基本思想是建立目标函数和不等关 系,根据目标函数和不等式求最值、范围,因此 这类问题的难点就是如何建立目标函数和不等 关系。下面探究常见题型的破解策略。 一、利用基本不等式求最值与范围 图1 例1 如图1,在平 面直角坐标系xOy 中, 椭圆 x2 a2 +y 2 b2 =1(a>b> 0)的离心率为 2 2 ,过椭 圆的右焦点F 作两条互 相垂直的弦AB 与CD。当直线AB 的斜率 为0时,|AB|+|CD|=32。 (1)求椭圆的方程; (2)求以A,B,C,D 为顶点的四边形的 面积的取值范围。 解析:(1)由题意知,e= c a= 2 2 ,则a= 2c,b=c。 当直 线 AB 的 斜 率 为0时,|AB|+ |CD|=2a+ 2b2 a =22c+2c=32 ,则c=1。 椭圆的方程为 x2 2+y 2=1。 (2)①当直线 AB 与CD 中有一条直线 的斜率为0时,另一条直线的斜率不存在。 由题意知S四边形ADBC= 1 2|AB| ·|CD|= 1 2×22× 2=2 。 ②当两条直线的斜率均存在且不为0 时,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线 AB 的方 程为y=k(x-1),则直线CD 的方程为y= - 1 k (x-1)。 将直线AB 的方程代入椭圆方程,整理得: (1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0。 则x1+x2= 4k2 1+2k2 ,x1x2= 2k2-2 1+2k2 。 |AB|= k2+1|x1-x2| = k2+1· 22 k2+1 1+2k2 = 22(k2+1) 1+2k2 。 同 理 可 得,|CD|= 22 1 k2 +1 1+ 2 k2 = 22(k2+1) k2+2 。 S四边形ADBC= 1 2 ·|AB|·|CD| = 1 2 ·22 (k2+1) 1+2k2 ·22 (k2+1) k2+2 = 4(k2+1)2 2k4+2+5k2 = 4k+ 1 k 2 2k+ 1 k 2 +1 =2- 2 2k+ 1 k 2 +1 。 因为2k+ 1 k 2 +1≥22 k· 1 k 2 +1 =9,当且仅当k=±1时取等号,所以S四边形ADBC ∈ 169 ,2 。 综上可知,S四边形ADBC∈ 16 9 ,2 。 感悟:这道题,应用了两个公式: 1.弦长公式|PQ|= 1+k2|x1-x2|= 1+k2 Δ |a| ,a是x2 的系数; 2.基本不等式 ab≤ a+b 2 ,a>0,b>0, 当a=b时,不等式取“=”号。 可先建立目标函数,再利用基本不等式 求目标函数的最值。 例2 已知动点 A、B 分别在x 轴、y 轴上,且满足|AB|=2,点P 在线段AB 上, 3 知识篇 知识结构与拓展 高二使用 2019年11月 且AP→=tPB→(t是不为零的常数)。设点 P 的轨迹方程为C。 (1)求点P 的轨迹方程C; (2)若t=2,点M、N 是C 上关于原点对 称的两个动点(M、N 不在坐标轴上),点 Q 的坐标为 3 2 ,3 ,求△QMN 的面积S的最大值。 解析:(1)设A(a,0),B(0,b),P(x,y)。 因为AP→=tPB→,即(x-a,y)=t(-x, b-y),所以 x-a=-tx, y=t(b-y)。 则 a=(1+t)x, b= 1+t t ·y。 由题 意知t>0,|AB|=2,故a2+b2=4,即(1+ t)2x2+ 1+tt 2 y2=4。 故点P 的轨迹方程C 为: x2 4 (1+t)2 + y 2 4t2 (1+t)2 =1。 (2)t=2时,椭圆方程为 9x2 4 + 9 16y 2=1。 设 M(x1,y1),则 N(-x1,-y1),MN =2 x21+y21。 设直线 MN 的方程为y= y1 x1 x(x1≠0), 点Q 到MN 的距离为h= 3 2y1-3x1 x21+y21 。 则 S△QMN = 1 2 · 2 x21+y21 · 3 2y1-3x1 x21+y21 = 32y1-3x1 。 S2△QMN=9x21+ 9 4y 2 1-9x1y1。 又 9x21 4 + 9y21 16 =1 ,则9x21+ 9 4y 2 1=4, S2△QMN=4-9x1y1。 而1= 9x21 4 + 9y21 16≥2 ·3|x1| 2 ·3|y1| 4 ,即 9|x1y1| 4 ≤1 。故-4≤-9x1y1≤4,当且仅当 3x1 2 =- 3y1 4 ,即x1=-