06 全国名校抛物线测试卷-2019年11月刊高二数学《中学生数理化》

全国名校抛物线测试卷答案与提示 一、选择题 1.C 2.B 3.B 4.C 5.D 6.A 7.C 8.B 9.A 10.B 11.C 12.B 13.A 14.B 15.B 16.C 17.C 18.C 19.D 20.C 21.C 22.B 二、填空题 23.2 24.(5,4) 25. y2-4y+2x=0 26.6 27. 16 5 28.6 29.22 30.32 三、解答题 图1 31.(1)设抛物线的 准线 为l,交 x 轴 于 K 点,l的方程为x=- m 2 。 如图1,作 AA'⊥l,BB' ⊥l,则|AF|=|AA'|= |m|。同 理,|BF|= |m|。又|AB|=6,则 |2m|=6,m=±3,所求抛物线方程为y2= ±6x。 (2)设 焦 点 为 F (a,0),|PF|= (a+5)2+20=6,即a2+10a+9=0,解得 a=-1或-9。当焦点为F(-1,0)时,p= 2,抛 物 线 开 口 方 向 向 左,其 方 程 为 y2= -4x;当焦点为F(-9,0),p=18,抛物线开 口方向向左,其方程为y2=-36x。 32.点 M 到对称轴的距离为6,可设点 M 的坐标为(x,6)。 又因为点 M 到准线的距离为10,所以 62=2px, x+p2=10 。 解得 x=9, p=2, 或 x=1 , p=18。 故当点 M 的横坐标为9时,抛物线方程 为y2=4x;当点 M 的横坐标为1时,抛物线 方程为y2=36x。 33.设 弦 两 端 点 分 别 为 P1(x1,y1), P2(x2,y2)。 因为P1,P2 在抛物线上,所以y21=6x1, y22=6x2。 两式相减,得: (y1+y2)(y1-y2)=6(x1-x2)。 因为 y1+y2=2,所以k= y1-y2 x1-x2 = 6 y1+y2 =3。 故直线的方程为y-1=3(x-4),即3x -y-11=0。 由 y2=6x, y=3x-11, 得y2-2y-22=0。 则y1+y2=2,y1·y2=-22。 故|P1P2|= 1+ 1 9 2 2-4×(-22) = 2 230 3 。 34.将y=kx-2代入y2=8x,变形整理得: k2x2-(4k+8)x+4=0。 由 k≠0, Δ=(4k+8)2-16k2>0, 得k>-1 且k≠0。 设A(x1,y1),B(x2,y2)。 由题意得x1+x2= 4k+8 k2 =4⇒k2=k+ 2⇒k2-k-2=0。 解得k=2或k=-1(舍去)。 由弦长公式得: |AB|= 1+k2 · 64k+64 k2 = 5× 192 4 =2 15 。 35.设AB 方程为y=x+b。 由 y=x+b, y2=8x, 消去y 得: x2+(2b-8)x+b2=0。 设A(x1,y1),B(x2,y2),则: x1+x2=8-2b,x1·x2=b2。 54 演练篇 核心考点AB卷答案 高二使用 2019年11月 |AB|= 1+k2·|x1-x2| = 2× (x1+x2)2-4x1·x2 = 2[(8-2b)2-4b2]=85。 解得b=-3。 直线方程为y=x-3,即x-y-3=0。 焦点F(2,0)到x-y-3=0的距离为 d= 1 2 = 2 2 。 故S△FAB= 1 2×85× 2 2=2 10 。 36.(1)点P 与点F(2,0)的距离比它到 直线x+4=0的距离小2,所以点 P 与点 F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离 相等。 由抛物线定义得:点P 在以F 为焦点, 直线x+2=0为准线的抛物线上,抛物线方 程为y2=8x。 (2)①若l斜率存在,设直线l:y=kx+ b与抛物线交于点(x1,y1),(x2,y2)。 联立 y=kx+b, y2=8x, 得ky2-8y+8b=0。 则 k≠0, 64-32kb≥0, 所以y1y2=8bk。 由 y21=8x1, y22=8x2, 得x1x2=y 2 1y22 64 = b2 k2 。 由OA⊥OB,得 y1 x1 y2 x2 =-1,即 8k b=-1 , b=-8k。 直线为y=k(x-8),所以l过定点(8,0)。 ②直线l与x 轴垂直,则直线OA 或直 线OB 的斜率为1。 联立 y=x, y2=8x, 得x=8。 直线l过定点(8,0)。 由①②得:直线恒过定点(8,0)。 37.(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+ x2=6。 由抛物线的定义知|AF|=x1+1,|BF| =x2+1,|AF|+|BF|=x1+x2+2=8。 (2)设直线l 的方程为x=my-1,由 x=my-1, y2=4x, 得y2-4my+4=0。 由Δ=