07 浅谈圆锥曲线中最值问题的解题策略-2019年11月刊高二数学《中学生数理化》

浅谈圆锥曲线中最值问题的解题策略 ■河南省许昌市建安区第一高级中学 田吉龙 在圆锥曲线中常常涉及与动点、动直线、 动弦、动角以及轨迹等有关的最值问题,这些 最值问题覆盖面广、解题灵活,在近几年的高 考题中此类问题经常出现。下面举例介绍两 种常见的解题策略,以供参考。 一、转化为平面几何知识求最值问题 例1 已知x,y 满足x 2 16+ y2 25≤1 ,求 z=y-3x 的最值。 图1 解析:将所给的函数 式改写为y=3x+z,则 它表示斜率为3的平行 直线系方程,z 是直线在 y 轴上的截距。由图1易 知:在区域G: x2 16+ y2 25≤1 内,z的最大、最小值在直 线与椭圆相切时取得。 将y=3x+z代入 x2 16+ y2 25=1 ,得 169x2 +96zx+16z2-400=0。由Δ=0,得 z= ±13,故z的最大值为13,最小值为-13。 点评:若题目中的条件和结论有明显的 几何特征和意义,可借用平面几何知识解决 问题,大大简化计算过程。 练习:设P,Q 分别为圆x2+(y-6)2= 2和椭圆 x2 10+y 2=1上的两点,则P,Q 两点 间的最大距离是( )。 A.52 B.46+ 2 C.7+ 2 D.62 解析:圆x2+(y-6)2=2的圆心为(0, 6),半径为 2。 设椭圆上的点为Q(x,y),点Q(x,y)到 圆心(0,6)的距离为: x2+(y-6)2= 10(1-y2)+(y-6)2= -9y+ 2 3 2 +50≤52。 所以P,Q 两点间的最大距离是52+ 2=62,选D。 二、利用均值不等式求最值问题 例2 (2017年全国Ⅰ卷理科数学第 10题)已知F 为抛物线C:y2=4x 的焦点, 过F 作两条相互垂直的直线l1,l2,直线l1 与抛物线C 交于A,B 两点,直线l2 与抛物 线C 交于D,E 两点,则|AB|+|DE|的最 小值为( )。 A.16 B.14 C.12 D.10 图2 解析:因为抛物线C 的方程为y2=4x,所以焦 点为F(1,0)。 设直线l1 的方程为 y=k(x-1),直线l2 的 方程为y=- 1 k (x-1)。 将直线l1 与抛物线方程联立 y=k(x-1), y2=4x, 消去y 得,k2x2-(2k2+4)x+k2=0。设 A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得 x1+x2= 2k2+4 k2 =2+ 4 k2 ,所以|AB|=x1+ x2+2= 4 k2 +4。 同理|DE|=4k2+4。所 以|AB|+ |DE|=4 1 k2 +k2 +8≥8+8=16,当且仅当 1 k2 =k2,即k=±1时等号成立,其最小值为 16,故选A。 点评:有些求最值问题,可以先把要求的 最值用参变量来表示,然后用基本不等式来 解决,这时往往需要创造条件,巧妙地进行构 思。基本不等式是解最值问题的一种有效方 法,但要注意验证等号是否成立。 (下转第23页) 12 解题篇 经典题突破方法 高二使用 2019年11月 $$