09 浅谈圆锥曲线离心率范围问题的经典题型-2019年11月刊高二数学《中学生数理化》

浅谈圆锥曲线离心率范围问题的经典题型 ■重庆市铁路中学校 何成宝 求圆锥曲线中的离心率范围问题是同学 们在学习圆锥曲线时经常遇到的一类问题。 面对此类问题,同学们往往束手无策,难以顺 利解决,下面结合几道例题谈谈这类问题的 求解策略,以供参考。 一、建立函数关系式求解 根据题设条件建立离心率和其他变量的 函数关系式,然后利用函数求值域的方法求 解离心率的范围。 例1 已知椭圆x 2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0) 上一点A 关于原点O 的对称点为点B,F 为 椭圆的右焦点,若 AF⊥BF,设∠ABF=α, 且α∈ π12 ,π 4 ,则椭圆离心率的取值范围是 。 解析:设左焦点为 F1,连接 AF1,BF1, 可得四边形AF1BF 是矩形,所以 AO=OF =OB=c,AB=2c。又 AF⊥BF,所以 AF =2csin α,BF=2ccos α。又因为AF1=BF, AF1+AF=2a,所以2csin α+2ccos α=2a, 即 c a = 1 sin α+cos α= 1 2sinα+ π 4 。因为 α∈ π12 ,π 4 ,所以 62≤ 2sinα+π4 ≤ 2, 2 2≤ c a≤ 6 3 。故填 2 2 ,6 3 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 。 点评: 由已知条件建立关于a,c的一个 方程,用参数α 表示离心率e,从而建立了以 α为变量的三角函数,然后求三角函数的值 域,从而求出椭圆离心率的取值范围。 练习:已知直线l:kx-y-2k+1=0与 椭圆C1: x2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0)交于A、B 两 点,与圆C2:(x-2)2+(y-1)2=1交于C、 D 两点。若存在k∈[-2,-1],使得AC→= DB→,则椭圆C1 的离心率的取值范围是( )。 A.0, 1 2 B.12,1 C.0, 2 2 􀭤􀭥 􀪁􀪁 D. 2 2 ,1 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 解析:直线l:kx-y-2k+1=0,即k(x -2)-y+1=0,直线l恒过定点(2,1),所以 直线l过圆C2 的圆心。因为AC→=DB→,所以 AC2=C2B,C2 为 AB 的中点。设 A(x1,y1), B(x2,y2), x21 a2 + y21 b2 =1, x22 a2 + y22 b2 =1, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 两 式 相 减 可 得 (x1+x2)(x1-x2) a2 + (y1+y2)(y1-y2) b2 = 0。化简可得- x1+x2 y1+y2 ·b 2 a2 = y1-y2 x1-x2 =k, -2· b2 a2 =k, b2 a2 =- k 2∈ 1 2 ,1 ,e= c 2 a2 = 1- b2 a2 ∈ 0, 2 2 􀭤􀭥 􀪁􀪁 ,故选C。 二、利用判别式求解 根据题中条件隐含着的一元二次方程有 解,利用判别式建立不等式关系,来求离心率 的取值范围。 例2 设双曲线C: x2 a2 -y2=1(a>0) 与直线l:x+y=1相交于两个不同的点A、 B,求双曲线C 的离心率e的取值范围。 解析:双曲线与直线相交于两个不同的点, 故方程组 x2 a2 -y2=1, x+y=1 有两个不同的实数解。 两式联立,消去y 并整理得: (1-a2)x2+2a2x-2a2=0。 1-a2≠0, Δ=4a4+8a2(1-a2)>0。 解得0<a< 2且a≠1。所以离心率 e= a2+1 a = 1+ 1 a2 > 6 2 ,且e≠ 2。 因此离心率e的取值范围为 6 2 ,2 ∪ 42 解题篇 经典题突破方法 高二使用 2019年11月 (2,+∞)。 点评: 将 圆 锥 曲 线 方 程 和 直 线 方 程 联 立,消去一个变量后得到一个关于另一个变 量的方程,由已知可得此方程有两个不相等 的实数根,利用二次方程根的判别式可得到 变量的取值范围,再找出e与这个变量之间 的关系即可求解。 练习:已知双曲线E: x2 a2 -y 2 b2 =1(a>0, b>0)的右顶点为A,抛物线C:y2=8ax 的 焦点为F。若在双曲线E 的渐近线上存在点 P,使得AP→⊥FP→,则双曲线E 的离心率的 取值范围是 ( )。 A.(1,2) B.1, 32 4 􀭤􀭥 􀪁􀪁 C.32 4 ,+∞ 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 D.(2,+∞) 解析:由题意得, A(a,0),F(2a,0)。设 P x0, b ax0 ,由 AP→⊥FP→,得 AP→·PF→=0 ⇒ c2 a2 x20-3ax0+2a2=0。因为在双曲线