10 抓住点和线 简化解几题-2019年11月刊高二数学《中学生数理化》

抓住点和线　简化解几题 ■陕西省武功县教育局教研室 李 歆(特级教师) 解析几何最基本的构成要素是点和线,同学 们处理解析几何问题时,如果能抓住题目中某些 特殊的点和线,那么不仅可以简化解题过程,而且 能避免走弯路,达到事半功倍的解题效果。 一、抓住“定点” 例1 已知两条直线l1:2x+y-1=0, l2:2x+y+1=0,则l1,l2 的距离是 。 解析:两直线平行,在直线l1 上取一个 定点P(1,-1),点P 到直线l2 的距离即l1 与l2 的距离: d= |2×1-1×1+1| 22+1 = 25 5 。 点评:如果将此题改编为:“已知直线l1 过点A(1,-1),直线l2 过点B(1,-3),如 果l1∥l2,且l1 与l2 的距离为 25 5 ,求l1 与l2 的方程。”那么就可以用“直线与方程”的几种 不同表示方法求解。 二、抓住“动点” 例2 若抛物线y2=4x 上的点M 到焦 点的距离为10,则M 到y轴的距离是 。 解析:由已知可得,抛物线y2=4x 的焦 点为F(1,0)。设点M 为(x,y),则由两点间 的距离公式可得,|MF|= (x-1)2+y2= 10。将y2=4x 代入,整理可得x2+2x-99 =0,解得x=9或x=-11(舍去),故M 到y 轴的距离是9。 点评:此题难度不大,但是如果将 M 到y 轴的距离误认为是求y值,那么就会步入歧途。 三、抓住“定比分点” 例3 已知抛物线C:y2=8x 的焦点为 F,准线为l,P 是l上一点,Q 是直线PF 与 抛物线 C 的 一 个 交 点,若 FP→=4FQ→,则 |QF|=( )。 A. 7 2 B.3 C. 5 2 D.2 解析:由已知可得点F 的坐标为(2,0), |PQ|=3|QF|。设点 P 的坐标为(-2, y0),点Q 的坐标为 y21 8 ,y1 ,将点Q 看成线 段PF 的定比分点,则由已知及定比分点坐 标公式可得 y21 8 = -2+3×2 4 =1 ,整理得y21 =8。所 以|QF|= y 2 1 8-2 2 + y21 = (1-2)2 + 8 = 3,选B。 拓展:若将条件“FP→=4FQ→”变为“FP= 3FQ”,则可得2018年清华大学自主招生试 卷的第4题:已知抛物线C:y2=8x 的焦点 为F,准线为l,P 是l上一点,Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点,若 FP=3FQ,则 |QF|=( )。 A. 8 3 B. 5 2 C.3 D.2 按照此解的解法可得|QF|= 8 3 ,选A。 四、抓住“垂直线” 例4 设m∈R,过定点A 的动直线x +my=0和过定点 B 的动直线 mx-y- m+3=0交于点P(x,y),则|PA|·|PB| 的最大值是 。 解析:由题意可知动直线x+my=0过 定点A(0,0),动直线 mx-y-m+3=0过 定点 B(1,3),两条动直线互相垂直,交点 P(x,y)就是垂足,所以点P(x,y)在以AB 为直径的圆上。注意到动直线x+my=0不 含x 轴,动直线mx-y-m+3=0不含直线 x=1,所以,点P(x,y)不含点C(1,0),由此 利用 基 本 不 等 式,得|PA|·|PB|≤ |PA|2+|PB|2 2 = |AB|2 2 = 12+32 2 =5 ,当且 仅当|PA|=|PB|= 5时 等 号 成 立,故 |PA|·|PB|的最大值是5。 点评:在本题中“两条动直线互相垂直,交点 P(x,y)为垂足”是解题得以顺利进行的关键,若从 |PA|·|PB|= x2+y2 · (x-1)2+(y-3)2 入手去处理,解题就思路受阻。 (责任编辑 徐利杰) 72 解题篇 经典题突破方法 高二使用 2019年11月 $$