11 辨析椭圆易错题型-2019年11月刊高二数学《中学生数理化》

辨析椭圆易错题型 ■河南科技大学附属高级中学 马欢欢 椭圆是高中数学学习的主要知识模块, 又是高考考查的重点知识之一,也是联系初 等数学与高等数学的纽带,它侧重于形象思 维,推理运算和数形结合,综合了代数、三角、 几何等知识,涉及的知识点较多,对解题能力 考查的层次较高。同学们在解答时,常常表 现为无从下手,或者半途而废,解决这一类问 题的关键在于:通观全局,局部入手,整体思 维,运算缜密。在掌握和解题思路的整体设 计上下工夫,不断克服解题中的运算难关,在 解题时统筹运用数形结合思想、参数思想、分 类讨论思想等,以达到优化解题的目的。同 学们在解椭圆问题时也会经常出错,本文从 多个方面举例剖析在解答有关椭圆问题的过 程中易混易错的原因,并提出正确的解题方法。 一、椭圆的定义及其标准方程 例1 若x2+ky2=1表示椭圆,则实 数k的取值范围是多少? 解析:因为方程x2+ky=1表示椭圆,所 以 k>0, k≠1, 则k取值范围是(0,1)∪(1,+∞)。 易错点:本题容易忽略k≠1而致错,圆 不是椭圆的特殊情形,因此,椭圆的标准方程 中二次项系数不能相等。 变式:若直线y=kx+1(k∈R)与椭圆 x2 5+ y2 m=1 恒有公共点,则实数m 的取值范 围是多少? 解析:由于直线y=kx+1(k∈R)恒过 定点(0,1),故点(0,1)在椭圆内部或者椭圆 上,所以m∈[1,+∞)。又因为m≠5,所以 m 的取值范围是[1,5)∪(5,+∞)。 易错点:本题容易忽略m≠5而致错,椭 圆的标准方程中二次项系数不能相等。 例2 已知椭圆的中心在原点,且经过 P(3,0),a=3b,求椭圆的标准方程。 解析:(法一)当焦点在x 轴上时,设其方 程为 x2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0)。由椭圆过点 P(3,0),a=3b,解得b2=1,a2=9,故椭圆的 方程为 x2 9+y 2=1。当焦点在y 轴上时,设 其方程为y 2 a2 + x2 b2 =1(a>b>0)。由椭圆过 点P(3,0),且a=3b,解得b2=9,a2=81,故 椭圆的方程为 x2 9+ y2 81=1 。综上,椭圆的标 准方程为 x2 9+y 2=1或者 x2 9+ y2 81=1 。 (法二)设椭圆的标准方程为 mx2+ny2 =1(m>0,n>0),由于椭圆经过P(3,0),代 入得m= 1 9 。当焦点在x 轴上时,n=1,故 椭圆的方程为 x2 9+y 2=1。当焦点在y 轴上 时,n= 1 81 ,故椭圆的方程为x 2 9+ y2 81=1 。综 上,椭圆的标准方程为x 2 9+y 2=1或者 x2 9+ y2 81=1 。 易错点:容易忽视先判断焦点位置,直接 认为椭圆的焦点在x 轴上,漏掉在y 轴上的 情况,当题目中焦点位置不确定时,要注意讨 论焦点的位置。 变式:椭圆两焦点间的距离是16,且椭 圆上某一点到两焦点的距离分别是9和15, 求椭圆的标准方程。 解析:由题意知,2a=9+15=24,2c= 16,a=12,c=8,b2=80。因为焦点可能在x 轴上,也可能在y 轴上,所以椭圆的标准方程 为 x2 144+ y2 80=1 或者 x2 80+ y2 144=1 。 二、轨迹问题 例3 若动点P 到两定点A(0,-2)和 82 解题篇 易错题归类剖析 高二使用 2019年11月 B(0,2)的距离之和为4,则点 P 的轨迹是 ( )。 A.椭圆 B.线段 C.直线 D.不存在 解析:由题意知|PA|+|PB|=4= |AB|,所以 P 点在A、B 之间运动,其轨迹 是线段AB,答案为B。 易错点:做题时易忘记动点P 轨迹是椭 圆有三个要点: ①在平面内|PA|+|PB|=2a,A、B 是 定点; ②2a为定长; ③2a>|AB|。 变式:设定点F1(0,-3)和F2(0,3),动 点P 满足|PF1|+|PF2|=a+ 9 a (a>0),则 P 点的轨迹是( )。 A.椭圆或线段 B.线段 C.直线 D.不存在 解析:由题意知|PF1|+|PF2|=a+ 9 a (a>0),所以当a=3时,|PF1|+|PF2|= a+ 9 a=6=|F1F2| ,此时 P 点在F1、F2 之 间运动,其轨迹是线段 F1F2;当a≠3时, |PF1|+|PF2|=a+ 9 a>6=|F1F2| ,此时 P 点的轨迹是椭圆。答案为A。 易错点:求轨迹要注意隐含条件对轨迹 的影响。 例4 已知A、B 是两个定点,顶点 M 为动点,|AB|=6,且△ABM 周长为16,求 顶点 M 的轨迹方程。 图1 解析:如图1所示,以 线段 AB 所 在 直 线 为 x 轴,线段 AB 的垂直平分 线为y