13 圆锥曲线中有关斜率类型的定值定点问题-2019年11月刊高二数学《中学生数理化》

圆锥曲线中有关斜率类型的定值定点问题 ■河南省禹州市第一高级中学 赵会贞 圆锥曲线中的定点、定值问题是高考中 的常考题型,难度较大,考查知识间的联系与 综合,并且此类题一般计算量都较大,费时费 力难以攻破,令很多同学望而生畏。 下面给出圆锥曲线中有关斜率类型的定 值定点问题的求解方法,希望对同学们的学 习有所帮助。 一、常用的结论 已知点P(x0,y0)是椭圆C: x2 a2 +y 2 b2 = 1(a>b>0)上一点,过点P 作两条直线交椭 圆于A、B 两点,则有以下结论: ①kPA+kPB 为定值⇔直线 AB 过定点; ②kPA·kPB 为定值⇔直线AB 过定点。 二、应用举例 例1 (2017年全国新课标Ⅰ卷)已知 椭圆C: x2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0),四点 P1(1, 1),P2(0,1),P3 -1, 3 2 ,P4 1,32 中恰有 三点在椭圆C 上。 (1)求椭圆C 的方程; (2)设直线l不经过P2 点且与椭圆C 相 交于A、B 两点,若直线P2A 与直线P2B 的 斜率的和为-1,证明:直线l过定点。 解析:(1)由于P3,P4 两点关于y 轴对 称,故由题设知C 经过P3,P4 两点。 又由 1 a2 + 1 b2 > 1 a2 + 3 4b2 知,椭圆C 不经 过点P1,所以点P2 在椭圆C 上。 因此, 1 b2 =1, 1 a2 + 3 4b2 =1, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解得 a2=4, b2=1。 故椭圆C 的方程为 x2 4+y 2=1。 (2)设直线 P2A 与直线P2B 的斜率分 别为k1,k2。 如果直线l与x 轴垂直,设l:x=t,由题 设知t≠0,且|t|<2,可得A,B 的坐标分别 为 t, 4-t2 2 ,t,- 4-t22 。则k1+k2 = 4-t2-2 2t - 4-t2+2 2t =-1 ,解得t= 2,不符合题意。 从而可设l:y=kx+m(m≠1)。 将y=kx+m 代入 x2 4+y 2=1得: (4k2+1)x2+8 kmx+4m2-4=0。 由题设可知Δ=16(4k2-m2+1)>0。 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2= - 8 km 4k2+1 ,x1x2= 4m2-4 4k2+1 。 而 k1 + k2 = y1-1 x1 + y2-1 x2 = kx1+m-1 x1 + kx2+m-1 x2 = 2kx1x2+(m-1)(x1+x2) x1x2 。 由题设知k1+k2=-1,故(2k+1)x1x2 +(m-1)(x1+x2)=0。 也即(2k+1)· 4m2-4 4k2+1 +(m-1)· -8 km 4k2+1 =0,解得k=- m+1 2 。 当且仅当m>-1时,Δ>0,于是l:y= - m+1 2 x+m ,即y+1=- m+1 2 (x-2),直 线l过定点(2,-1)。 例2 已知椭圆C: x2 a2 +y 2 b2 =1(a> b>0)过点P(2,1),且离心率为 2 2 ,过点P 作两条互相垂直的直线分别交椭圆于A、B 两点(A、B 不与点P 重合),求证:直线 AB 过定点,并求该点的坐标。 解析:(1)依 题 意, 4 a2 + 1 b2 =1, c a = 1- ba 2 = 2 2 ,解得a2=6,b2=3。 63 解题篇 创新题追根溯源 高二使用 2019年11月 所以椭圆C 的方程为 x2 6+ y2 3=1 。 (2)易知直线AB 斜率存在,设AB 方程 为y=kx+m,由 y=kx+m, x2 6+ y2 3=1 得: (2k2+1)x2+4mkx+2m2-6=0。 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2= - 4mk 2k2+1 ,x1·x2= 2m2-6 2k2+1 。由 PA⊥PB 得,kPA·kPB=-1, y1-1 x1-2 × y2-1 x2-2 =-1。 则(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)= 0,(k2+1)x1x2+(km-k-2)(x1+x2)+ m2-2m+5=0。 故(k2+1) 2m2-6 2k2+1 +(km-k-2)· - 4mk 2k2+1 +m2-2m+5=0 则3m2+8mk+4k2-2m-1=0,(3m+ 2k+1)(m+2k-1)=0。由于直线AB 不过 点P(2,1),则m+2k-1≠0,3m+2k+1= 0,m=- 2 3k- 1 3 。 直线 AB 方程可化为y=k x- 2 3 - 1 3 ,直线AB 过定点 23 ,- 1 3 。 例3 (2019年全国新课标Ⅱ卷)已知 点A(-2,0),B(2,0),动点