第二章 第11节 利用导数研究函数的单调性（课件+作业）-2020高考理科数学【创新教程】大一轮高考总复习（人教版）

第11节　利用导数研究函数的单调性 1．函数的单调性与导数的关系 函数y＝f(x)在某个区间内可导： (1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内　单调递增　； (2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内　单调递减　； (3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是　常数函数　. 2．求函数单调区间的步骤 (1)求定义域． (2)求导． (3)由导数大于0求单调递增区间；由导数小于0求单调递减区间． 1.f′(x)>0(或f′(x)<0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件； 2．若f′(x)＝0不恒成立，则f′(x)≥0(或f′(x≤0))是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充要条件． [思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)f′(x)>0是f(x)为增函数的充要条件．(　　 ) (2)函数的导数越小，函数的变化越慢，函数的图象就越“平缓”．(　　 ) (3)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内为常数函数．(　　 ) (4)f(x)在(a，b)上单调递增与(a，b)是f(x)的单调递增区间意义不一样．(　　 ) 答案： (1)×　(2)×　(3)√　(4)√ [小题查验] 1．如图所示是函数f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断中正确的是(　　) A．函数f(x)在区间(－3,0)上是减函数 B．函数f(x)在区间(－3,2)上是减函数 C．函数f(x)在区间(0,2)上是减函数 D．函数f(x)在区间(－3,2)上是单调函数 解析：A　[当x∈(－3,0)时，f′(x)<0，则f(x)在(－3,0)上是减函数．其他判断均不正确．] 2．函数f(x)＝1＋x－sin x在(0,2π)上的单调情况是(　　 ) A．单调递增　　　　 B．单调递减 C．先增后减 D．先减后增 解析：A　[在(0,2π)上有f′(x)＝1－cos x>0，所以f(x)在(0,2π)上单调递增．] 3．(2019·和平区模拟)已知f(x)是定义在R上的函数，它的图象上任意一点P(x0，y0)处的切线方程为y＝(x＋2x0)，那么函数f(x)的单调递减区间为(　　 ) －x＋x0－2)x＋(y0－x A．(－2,1) B．(－1,2) C．(－∞，－2) D．(1，＋∞) 解析：A　[由图象上任意一点P(x0，y0)处的切线方程为y＝(x＋2x0)，－x＋x0－2)x＋(y0－x 知f(x)的导数为f′(x)＝x2＋x－2， 令f′(x)＜0，解得：－2＜x＜1，故选A.] 4．(教材改编)函数f(x)＝ex－x的减区间为　________　. 答案：(－∞，0) 5．已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是增函数，则a的最大值是　________　. 解析：f′(x)＝3x2－a≥0，即a≤3x2， 又∵x∈[1，＋∞)，∴a≤3，即a的最大值是3. 答案：3 考点一　利用导数判断或证明函数的单调性(师生共研) 逻辑推理——分类与整合思想研究函数的单调性 含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论，常见有以下几种可能：①方程f′(x)＝0是否有根；②若f′(x)＝0有根，求出根后是否在定义域内；③若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法． [典例]　(2017·全国Ⅱ卷)设函数f(x)＝(1－x2)ex. (1)讨论f(x)的单调性； (2)当x≥0时，f(x)≤ax＋1，求a的取值范围． [解析]　(1)f′(x)＝(1－2x－x2)ex， 令f′(x)＝0得x＝－1±， 当x∈(－∞，－1－，＋∞)时，f′(x)＜0，)时，f′(x)＞0；当x∈(－1＋，－1＋)时，f′(x)＜0；当x∈(－1－ 所以f(x)在(－∞，－1－)单调递增． ，－1＋，＋∞)单调递减，在(－1－)和(－1＋ (2)f(x)＝(1－x)(1＋x)ex， 当a≥1时，设函数h(x)＝(1－x)ex，h′(x)＝－xex＜0(x≥0)，因此h(x)在[0，＋∞)单调递减，而h(0)＝1， 故h(x)≤1，所以f(x)＝(x＋1)h(x)≤x＋1≤ax＋1. 当0＜a＜1时，设函数g(x)＝ex－x－1，g′(x)＝ex－1＞0(x＞0)，所以g(x)在[0，＋∞)单调递增，而g(0)＝0，故ex≥x＋1. 当0＜x＜1时，f(x)＞(1－x)(1＋x)2，(1－x)(1＋x)2－ax－1＝x(1－a－x－x2)，取x0＝， 则x0∈(0,1)，(1－x0)(1＋x0)2－ax0＝0，故f(x0)＞ax0＋1. 当a≤0时，取x0＝，f(x0)＞(1－x0)(1＋x0)2＝1≥ax0＋1. 综上，a的取值范围[1，＋∞)．