第4章 4.3.1 第2课时 等比数列的性质及应用-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（人教A版2019）

第2课时　等比数列的性质及应用 ［学习目标］　1.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性质简化运算.2.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形.3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题. 导语 在我们学习等比数列的过程中，发现它与等差数列有相似之处，这其实就是我们在这两类数列之间无形之中产生了类比思想，类比的前提大多为结论提供线索，它往往能把人的认知从一个领域引伸到另一个共性的领域，由此推出另一个对象也具有同样的其他特定属性的结论，今天我们就用类比的思想来研究等比数列具有哪些性质. 一、等比数列的性质 问题1　你能把等差数列里面的an=am+（n-m）d类比出等比数列中相似的性质吗？ 提示　类比可得an=amqn-m；由等比数列的定义可知an=a1qn-1，am=a1qm-1，两式相除可得==q（n-1）-（m-1）=qn-m，即an=amqn-m. 问题2　结合上面的类比，你能把等差数列里面的am+an=ak+al（m+n=k+l，m，n，k，l∈N*）类比出等比数列中相似的性质吗？ 提示　类比可得aman=akal，其中m+n=k+l，m，n，k，l∈N*. 推导过程：am=a1qm-1，an=a1qn-1，ak=a1qk-1，al=a1ql-1， 所以aman=a1qm-1·a1qn-1=qm+n-2，akal=a1qk-1·a1ql-1=qk+l-2， 因为m+n=k+l，所以有aman=akal. 知识梳理　 1.等比数列通项公式的推广和变形an=amqn-m. 2.设数列｛an｝为等比数列，则： （1）若k+l=m+n（k，l，m，n∈N*），则ak·al=am·an. （2）若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列. 注意点： （1）性质的推广：若m+n+p=x+y+z，有amanap=axayaz. （2）该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同. （3）在有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项之积都相等，即a1·an=a2·an-1=…. 例1　已知｛an｝为等比数列. （1）若｛an｝满足a2a4=，求a1a5； （2）若an>0，a5a7+2a6a8+a6a10=49，求a6+a8； （3）若an>0，a5a6=9，求log3a1+log3a2+…+log3a10的值. 解　（1）在等比数列｛an｝中， ∵a2a4=， ∴=a1a5=a2a4=， ∴a1a5=. （2）由等比中项，化简条件得+2a6a8+=49， 即（a6+a8）2=49， ∵an>0， ∴a6+a8=7. （3）由等比数列的性质知a5a6=a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=9， ∴log3a1+log3a2+…+log3a10=log3（a1a2·…·a10）=log3［（a1a10）（a2a9）（a3a8）（a4a7）（a5a6）］ =log395=10. 反思感悟　运用等比数列的性质应注意的问题 运用等比数列的性质am·an=ak·al=（m，n，k，l，t∈N*）的关键是各项的序号之间满足关系m+n=k+l=2t，它们往往涉及其中的四项或三项，注意不要和等差数列相应的性质混淆. 跟踪训练1　（1）已知等比数列｛an｝满足a1+a5+a9=21，a4+a8+a12=42，则a7等于（　　） A.4 B.8 C.16 D.32 答案　B 解析　设数列｛an｝的公比为q， 则a4+a8+a12=（a1+a5+a9）q3， 即21q3=42，解得q=. 因为a1+a5+a9=a1（1+q4+q8）=21a1=21， 所以a1=1，则a7=a1q6=8. （2）在等比数列｛an｝中，a1，a13是方程x2-13x+9=0的两根，则的值为（　　） A. B.3 C.± D.±3 答案　B 解析　因为a1，a13是方程x2-13x+9=0的两根， 所以a1a13=9，a1+a13=13， 所以a1>0，a13>0， 又｛an｝为等比数列， 则a7=a1q6>0， 又a1a13=a2a12==9， 所以a7=3或a7=-3（舍去）， 所以=a7=3. 二、由等比数列构造新等比数列 问题3　结合我们所学，你能类比等差数列、等比数列的通项公式的结构特点及运算关系吗？ 提示 等差数列 等比数列 定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列 符号表示 an-an-1=d（n≥2，n∈N*） =q（n≥2，n∈N*） 通项公式 an=a1+（n-1）d an=a1qn-1 类比 差⇒商；和⇒积，积⇒乘方 性质 等差数列首项为a1，公差为d 等比数列首项为a1，公比为q 把等差数列前k项去掉，得到一个以ak+1为首项，以d为公差的等差数列 把等比数列前k项去掉，得到一个以ak+1为首项，以q为公比的等比数列 等差数列中，ak，ak+m，ak+2m，…是公差为md的等差数列 等比数列中，ak，ak+m，ak+2m，…是公比为qm的等比数列 等差数列中每一项加上同一个常数，构成一个公差不变的等差数列 等比数列中每一项同乘一个非零常数，构成一个公比不变的等比数列 两个等差数列相加，还是一个等差数列 两个等比数列相乘，还是一个等比数列 知识梳理　 等比数列的常用结论 （1）若｛an｝是公比为q的等比数列，则 ①｛can｝（c为任一不为零的常数）是公比为q的等比数列； ②｛|an|｝是公比为|q|的等比数列； ③｛｝（m为常数，m∈N*）是公比为qm的等比数列. （2）若｛an｝，｛bn｝分别是公比为q1，q2的等比数列，则数列｛an·bn｝是公比为q1·q2的等比数列. （3）等比数列的“子数列”的性质 若数列｛an｝是公比为q的等比数列，则 ①｛an｝去掉前几项后余下的项仍组成公比为q的等比数列； ②奇数项数列｛a2n-1｝是公比为q2的等比数列，偶数项数列｛a2n｝是公比为q2的等比数列； ③若｛kn｝是等差数列且公差为d，则｛｝是公比为qd的等比数列，也就是说，若等比数列中项的序号成等差数列，则对应的项依次成等比数列. 例2　如果数列｛an｝是等比数列，那么下列数列中不一定是等比数列的是（　　） A. B. C. D. 答案　D 解析　取等比数列an=，则an+an+1=0，所以｛an+an+1｝不是等比数列，故D错误； 对于其他选项，均满足等比数列通项公式的性质. 反思感悟　由等比数列构造新的等比数列，一定要检验新的数列中是否有为0的项，主要是针对q<0的情况. 跟踪训练2　设｛an｝是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai+1的矩形面积（i=1，2，…），则｛An｝为等比数列的充要条件为（　　） A.｛an｝是等比数列 B.a1，a3，…，a2n-1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列 C.a1，a3，…，a2n-1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列 D.a1，a3，…，a2n-1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同 答案　D 解析　因为Ai是边长为ai，ai+1的矩形面积（i=1，2，…），所以Ai=aiai+1（i=1，2，…）， 则数列｛An｝的通项为An=anan+1.根据等比数列的定义， 数列｛An｝为等比数列的充要条件是===q（常数）. 三、灵活设项求解等比数列 例3　有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且首末两数的和是16，中间两数的和是12.求这四个数. 解　方法一　从前三个数入手，设这四个数依次为a-d，a，a+d，， 由条件得 解得或 当a=4，d=4时，所求四个数为0，4，8，16； 当a=9，d=-6时，所求四个数为15，9，3，1. 故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1. 方法二　从后三个数入手，设这四个数依次为-a，，a，aq（q≠0）， 由条件得 解得或 当q=2，a=8时，所求四个数为0，4，8，16； 当q=，a=3时，所求四个数为15，9，3，1. 故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1. 方法三　从首末两项的和与中间两项的和入手，设这四个数依次为x，y，12-y，16-x， 由已知得 解得或 故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1. 延伸探究　若将本例中“和是16”改为“积是-128”，将“和是12”改为“积是16”，如何求解？ 解　设这四个数依次为-aq，，aq，aq3（q≠0）. 则由已知得 由①得a2=16，∴a=4或a=-4. 由②得2a2q2-a2q4=-128. 将a2=16代入整理，得q4-2q2-8=0，解得q2=4或q2=-2（舍去），∴q=2或q=-2. ∴所求四个数为-4，2，8，32或4，-2，-8，-32. 反思感悟　在解决与等比数列有关的数的设法时常用的规律 对称设元法：一般地，连续奇数个项成等比数列，可设为…，，x，xq，…；连续偶数个项成等比数列，可设为…，，，xq，xq3，…（注意：此时公比q2>0，并不适合所有情况），这样既可以减少未知量的个数，也使得解方程较为方便. 跟踪训练3　三个互不相等的数构成等差数列，如果适当排列这三个数，又可构成等比数列，这三个数的和为6，求这三个数. 解　由已知，可设这三个数为a-d，a，a+d，d≠0，则a-d+a+a+d=6，即a=2，这三个数可表示为2-d，2，2+d. ①若2-d为2和2+d的等比中项， 则（2-d）2=2（2+d）， 解得d=6或d=0（舍去），此时这三个数为-4，2，8. ②若2+d为2-d和2的等比中项， 则（2+d）2=2（2-d）， 解得d=-6或d=0（舍去），此时这三个数为8，2，-4. ③若2为2-d和2+d的等比中项， 则22=（2+d）（2-d），解得d=0（舍去）. 综上，这三个数为-4，2，8. 四、等比数列的应用 例4　某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值. （1）用一个式子表示n（n∈N*）年后这辆车的价值； （2）如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？ 解　（1）从第一年起，每年车的价值（万元）依次设为a1，a2，a3，…，an，…， 由题意，得a1=13.5，a2=13.5×（1-10%）， a3=13.5×（1-10%）2，…. 由等比数列的定义，知数列｛an｝是等比数列， 首项a1=13.5，公比q=1-10%=0.9， ∴an=a1·qn-1=13.5×0.9n-1. ∴n年后车的价值为an+1=（13.5×0.9n）万元. （2）由（1）得a5=a1·q4=13.5×0.94≈8.9（万元）， ∴用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到8.9万元. 反思感悟　等比数列实际应用问题的关键是建立数学模型，即将实际问题转化成等比数列的问题，解数学模型即解等比数列问题，最后注意数学问题再转化为实际问题作答. 跟踪训练4　窗花（俗称剪纸）蕴含着辞旧迎新、接福纳祥的美好寓意.一位艺术家把一张厚度（单位：cm）为0.012 5的纸对折了三次，开始进行剪纸创作，若不计纸与纸之间的间隙，则对折后的半成品厚度是　　　　mm.  答案　1 解析　由题设，对折了三次后半成品厚度为0.012 5×23=0.1（cm），即1 mm. 1.知识清单： （1）等比数列的性质. （2）由等比数列构造新数列. （3）灵活设项解等比数列. （4）等比数列的应用. 2.方法归纳：公式法、构造法、转化法、建模思想. 3.常见误区： （1）构造新的等比数列易忽视有等于0的项. （2）四个数成等比数列时设成，，aq，aq3，未考虑公比为负的情况. 1.已知｛an｝，｛bn｝都是等比数列，那么（　　） A.｛an+bn｝，｛anbn｝都一定是等比数列 B.｛an+bn｝一定是等比数列，但｛anbn｝不一定是等比数列 C.｛an+bn｝不一定是等比数列，但｛anbn｝一定是等比数列 D.｛an+bn｝，｛anbn｝都不一定是等比数列 答案　C 解析　当两个数列都是等比数列时，这两个数列的和不一定是等比数列，比如取两个数列是互为相反数的数列，两者的和就不是等比数列.两个等比数列的积一定是等比数列. 2.已知数列｛an｝为各项都是正数的等比数列，=9a1·a9，则等于（　　） A.3 B. C. D. 答案　D 解析　设正项等比数列｛an｝的公比为q， 则an>0，q>0. 由等比数列的性质得=9a1·a9=9， ∴a6=3a5，∴q=3， 则===. 3.等比数列｛an｝为递减数列，若a7·a14=6，a4+a17=5，则等于（　　） A. B. C. D.6 答案　A 解析　∵a7·a14=a4·a17=6，a4+a17=5， ∴a4与a17为方程x2-5x+6=0的两个根， 解得a4=2，a17=3或a4=3，a17=2， ∵an>an+1，∴a4=3，a17=2， 方法一　 ∴q13==， 则===. 方法二　==q13=， 则===. 4.有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，第一个数与第四个数的和为21，中间两个数的和为18，则这四个数为　　　　.  答案　3，6，12，18或，，， 解析　方法一　设前三个数分别为，a，aq（q≠0），则第四个数为2aq-a. 由题意得 解得或 当q=2，a=6时，这四个数为3，6，12，18； 当q=，a=时，这四个数为，，，. 方法二　设后三个数为a-d，a，a+d，则第一个数为， 由题意得 解得或 ∴这四个数为3，6，12，18或，，，. 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分 1.在等比数列｛an｝中，如果a6=6，a9=9，那么a3等于（　　） A.4 B. C. D.2 答案　A 解析　由等比数列的性质可得=a9a3，得a3=4. 2.在数列｛an｝中，对任意n∈N*，都有an+1-2an=0（an≠0），则等于（　　） A.1 B. C. D. 答案　D 解析　由an+1-2an=0知an+1=2an，故｛an｝是等比数列，且q=2， 则====. 3.在等比数列｛an｝中，a1，a99是方程x2-10x+16=0的两个根，则a50的值为（　　） A.10 B.16 C.±4 D.4 答案　C 解析　依题意，得a1·a99=16，而a1·a99=， 所以a50=±4. 4.画一个边长为2的正方形，再以这个正方形的一条对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的一条对角线为边画第3个正方形……这样共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于（　　） A.2 024 B.1 012 C.2 048 D.4 096 答案　C 解析　依题意，得这10个正方形的边长构成以2为首项，为公比的等比数列｛an｝，所以an=2×（）n-1，所以第10个正方形的面积S==［2×（）9］2=4×29=2 048. 5.若a，b，c成等比数列，其中a，b，c均是不为1的正数，n是大于1的整数，那么logan，logbn，logcn（　　） A.是等比数列 B.是等差数列 C.每项取倒数成等差数列 D.每项取倒数成等比数列 答案　C 解析　因为a，b，c成等比数列，可知logna，lognb，lognc成等差数列，即，，成等差数列. 6.若正项数列｛an｝满足a1=2，-3an+1an-4=0，则数列｛an｝的通项公式an等于（　　） A.22n-1 B.2n C.22n+1 D.22n-3 答案　A 解析　由-3an+1an-4=0， 得（an+1-4an）·（an+1+an）=0. 又｛an｝是正项数列， 所以an+1-4an=0，=4. 由等比数列的定义知数列｛an｝是以2为首项， 4为公比的等比数列.由等比数列的通项公式， 得an=2×4n-1=22n-1. 7.（5分）在等比数列｛an｝中，若a7+a8+a9+a10=，a8a9=-，则+++=　　　　.  答案　- 解析　因为+=，+=，由等比数列的性质知a7a10=a8a9，所以+++==÷=-. 8.（5分）已知各项都为正数的等比数列｛an｝中，a2·a4=4，a1+a2+a3=14，则满足an·an+1·an+2>的最大正整数n的值为　　　　.  答案　4 解析　设数列｛an｝的公比为q（q>0），∵a2·a4=4=，且a3>0，∴a3=2，又a1+a2+a3=++2=14，∴=-3（舍去）或=2，即q=，a1=8.又an=a1qn-1=8×=，∴an·an+1·an+2=>，即23n-9<9，∵n∈N*， ∴n的最大值为4. 9.（10分）已知等比数列｛an｝的首项a1=16，公比q=，在｛an｝中每相邻两项之间都插入3个正数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等比数列｛bn｝. （1）求数列｛bn｝的通项公式；（5分） （2）记数列｛bn｝前n项的乘积为Tn，试问：Tn是否有最大值？如果有，请求出此时n的值以及最大值；若没有，请说明理由.（5分） 解　（1）由已知得，数列｛bn｝的首项b1=16，b5=a2=16×=1， 设数列｛bn｝的公比为q1（q1>0）， 即===， ∴q1=， 即bn=b1=16×=25-n. （2）Tn=b1·b2·b3·…·bn=24·23·…·25-n =24+3+2+…+（5-n） == =， 即当n=4或5时， Tn有最大值=210=1 024. 10.（12分）已知｛an｝为等差数列，且a1+a3=8，a2+a4=12. （1）求｛an｝的通项公式；（5分） （2）记｛an｝的前n项和为Sn，若a1，ak，Sk+2成等比数列，求正整数k的值.（7分） 解　（1）设数列｛an｝的公差为d，由题意知解得 所以an=a1+（n-1）d=2+2（n-1）=2n. （2）由（1）可得Sn== =n（1+n）. 因为a1，ak，Sk+2成等比数列， 所以=a1Sk+2， 从而（2k）2=2（k+2）（k+3）， 即k2-5k-6=0，解得k=6或k=-1（舍去），因此k=6. 11.已知数列｛an｝满足a2=1，a3=6，且数列｛an+n｝为等比数列，则a4的值为（　　） A.23 B.32 C.36 D.40 答案　A 解析　设bn=an+n， 则｛bn｝为等比数列， 设公比为q，则b2=a2+2=3，b3=a3+3=9， ∴q=3， ∴b4=b3·3=9×3=27， 即a4+4=27，∴a4=23. 12.已知等比数列｛an｝是递减数列，前n项的积为Tn，若T13=4T9，则a8a15等于（　　） A.±2 B.±4 C.2 D.4 答案　C 解析　∵T13=4T9， ∴a1a2·…·a9a10a11a12a13=4a1a2·…·a9， ∴a10a11a12a13=4. 又∵a10a13=a11a12=a8a15， ∴（a8a15）2=4， ∴a8a15=±2. 又∵｛an｝为递减数列， ∴q>0，∴a8a15=2. 13.（多选）已知数列｛an｝为等差数列，｛bn｝为等比数列，｛an｝的前n项和为Sn，若a1+a6+a11=3π，b1b5b9=8，则（　　） A.S11=11π B.sin = C.a3+a7+a8=3π D.b3+b7≥4 答案　ACD 解析　因为数列｛an｝为等差数列，｛bn｝为等比数列，a1+a6+a11=3π，b1b5b9=8，所以a1+a6+a11=3a6=3π，即a6=π，b1b5b9==8，即b5=2.对于A，S11==11a6=11π，故A正确；对于B，a2+a10=2a6=2π，b4b6==4，所以sin =sin =1，故B错误；对于C，设等差数列｛an｝的公差为d，则a3+a7+a8=a6-3d+a6+d+a6+2d=3a6=3π，故C正确；对于D，由b5=2，得b3，b7>0，故b3+b7≥2=2=4，当且仅当b3=b7=2时等号成立，故D正确. 14.（5分）已知数列｛an｝是公比不为1的等比数列，=，则mn=　　　　　.（写出满足上述条件的一个值即可）  答案　7（答案不唯一，7，12，15，16中任一个均可） 解析　在等比数列｛an｝中，由=得am·an=a3·a5， 所以m+n=3+5=8，不妨令m≤n， 则m，n的不同取值有m=1，n=7； 或者m=2，n=6； 或者m=3，n=5；或者m=n=4，所以mn的所有取值为7，12，15，16. 15.（5分）已知在等差数列｛an｝中，a2+a4=16，a1+1，a2+1，a4+1成等比数列，把各项按如图所示排列.则从上到下第10行，从左到右的第11个数值为　　　.  答案　275或8 解析　设数列｛an｝的公差为d， 由a2+a4=16，得a1+2d=8， ① 由a1+1，a2+1，a4+1成等比数列， 得（a2+1）2=（a1+1）（a4+1）， 整理得d2-a1d-d=0， ② 由①②解得d=3或d=0， 当d=3时，a1=2，an=3n-1.由题图可得第10行第11个数为数列｛an｝中的第92项，a92=3×92-1=275. 当d=0时，an=8，a92=8. 16.（12分）已知数列｛an｝的前n项和为Sn，且满足a1=1，nSn+1-（n+1）Sn=，n∈N*. （1）求数列｛an｝的通项公式；（6分） （2）是否存在正整数k，使ak，S2k，a4k成等比数列？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由.（6分） 解　（1）由nSn+1-（n+1）Sn=， 得-=， ∴数列是首项为=1，公差为的等差数列， ∴=1+（n-1）=（n+1），∴Sn=. 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-=n. a1=1也适合上式，∴an=n. （2）由（1）知an=n，Sn=. 假设存在正整数k，使ak，S2k，a4k成等比数列， 则=ak·a4k，即=k·4k. ∵k为正整数， ∴（2k+1）2=4. 得2k+1=2或2k+1=-2， 解得k=或k=-，与k为正整数矛盾. ∴不存在正整数k，使ak，S2k，a4k成等比数列. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2课时 第四章 <<< 等比数列的性质及应用 1.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性质简化运算. 2.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形. 3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题. 学习目标 在我们学习等比数列的过程中，发现它与等差数列有相似之处，这其实就是我们在这两类数列之间无形之中产生了类比思想，类比的前提大多为结论提供线索，它往往能把人的认知从一个领域引伸到另一个共性的领域，由此推出另一个对象也具有同样的其他特定属性的结论，今天我们就用类比的思想来研究等比数列具有哪些性质. 导 语 一、等比数列的性质 二、由等比数列构造新等比数列 课时对点练 三、灵活设项求解等比数列 随堂演练 内容索引 四、等比数列的应用 一 等比数列的性质 你能把等差数列里面的an=am+(n-m)d类比出等比数列中相似的性质吗？ 问题1 提示　类比可得an=amqn-m；由等比数列的定义可知an=a1qn-1，am=a1qm-1，两式相除可得==q(n-1)-(m-1)=qn-m，即an=amqn-m. 结合上面的类比，你能把等差数列里面的am+an=ak+al(m+n=k+l，m，n，k，l∈N*)类比出等比数列中相似的性质吗？ 问题2 提示　类比可得aman=akal，其中m+n=k+l，m，n，k，l∈N*. 推导过程：am=a1qm-1，an=a1qn-1，ak=a1qk-1，al=a1ql-1， 所以aman=a1qm-1·a1qn-1=qm+n-2，akal=a1qk-1·a1ql-1=qk+l-2， 因为m+n=k+l，所以有aman=akal. 1.等比数列通项公式的推广和变形an= . 2.设数列{an}为等比数列，则： (1)若k+l=m+n(k，l，m，n∈N*)，则 . (2)若m，p，n成等差数列，则 成等比数列. amqn-m ak·al=am·an am，ap，an 知识梳理 (1)性质的推广：若m+n+p=x+y+z，有amanap=axayaz. (2)该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同. (3)在有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项之积都相等，即a1·an=a2·an-1=…. 注 意 点 <<< 9 已知{an}为等比数列. (1)若{an}满足a2a4=，求a1a5； 例 1 在等比数列{an}中， ∵a2a4=， ∴=a1a5=a2a4=， ∴a1a5=. 10 (2)若an>0，a5a7+2a6a8+a6a10=49，求a6+a8； 由等比中项，化简条件得+2a6a8+=49， 即(a6+a8)2=49， ∵an>0， ∴a6+a8=7. 11 (3)若an>0，a5a6=9，求log3a1+log3a2+…+log3a10的值. 由等比数列的性质知a5a6=a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=9， ∴log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2·…·a10) =log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)] =log395=10. 12 运用等比数列的性质应注意的问题 运用等比数列的性质am·an=ak·al=(m，n，k，l，t∈N*)的关键是各项的序号之间满足关系m+n=k+l=2t，它们往往涉及其中的四项或三项，注意不要和等差数列相应的性质混淆. 反 思 感 悟 13 (1)已知等比数列{an}满足a1+a5+a9=21，a4+a8+a12=42，则a7等于 A.4　　　B.8　　　C.16　　　D.32 跟踪训练 1 √ 设数列{an}的公比为q， 则a4+a8+a12=(a1+a5+a9)q3， 即21q3=42，解得q=. 因为a1+a5+a9=a1(1+q4+q8)=21a1=21， 所以a1=1，则a7=a1q6=8. 14 (2)在等比数列{an}中，a1，a13是方程x2-13x+9=0的两根，则的值为 A. B.3 C.± D.±3 √ 15 因为a1，a13是方程x2-13x+9=0的两根， 所以a1a13=9，a1+a13=13， 所以a1>0，a13>0， 又{an}为等比数列， 则a7=a1q6>0， 又a1a13=a2a12==9， 所以a7=3或a7=-3(舍去)， 所以=a7=3. 16 二 由等比数列构造新等比数列 结合我们所学，你能类比等差数列、等比数列的通项公式的结构特点及运算关系吗？ 问题3 提示   等差数列 等比数列 定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列 符号表示 an-an-1=d(n≥2，n∈N*) =q(n≥2，n∈N*)   等差数列 等比数列 通项公式 an=a1+(n-1)d an=a1qn-1 类比 差⇒商；和⇒积，积⇒乘方 性质 等差数列首项为a1，公差为d 等比数列首项为a1，公比为q 把等差数列前k项去掉，得到一个以ak+1为首项，以d为公差的等差数列 把等比数列前k项去掉，得到一个以ak+1为首项，以q为公比的等比数列 等差数列中，ak，ak+m，ak+2m，…是公差为md的等差数列 等比数列中，ak，ak+m，ak+2m，…是公比为qm的等比数列   等差数列 等比数列 性质 等差数列中每一项加上同一个常数，构成一个公差不变的等差数列 等比数列中每一项同乘一个非零常数，构成一个公比不变的等比数列 两个等差数列相加，还是一个等差数列 两个等比数列相乘，还是一个等比数列 等比数列的常用结论 (1)若{an}是公比为q的等比数列，则 ①{can}(c为任一不为零的常数)是公比为 的等比数列； ②{|an|}是公比为 的等比数列； ③{}(m为常数，m∈N*)是公比为 的等比数列. (2)若{an}，{bn}分别是公比为q1，q2的等比数列，则数列{an·bn}是公比为 的等比数列. q |q| qm q1·q2 知识梳理 21 (3)等比数列的“子数列”的性质 若数列{an}是公比为q的等比数列，则 ①{an}去掉前几项后余下的项仍组成公比为q的等比数列； ②奇数项数列{a2n-1}是公比为q2的等比数列，偶数项数列{a2n}是公比为q2的等比数列； ③若{kn}是等差数列且公差为d，则{}是公比为qd的等比数列，也就是说，若等比数列中项的序号成等差数列，则对应的项依次成等比数列. 如果数列{an}是等比数列，那么下列数列中不一定是等比数列的是 A. B. C. D. 例 2 √ 取等比数列an=，则an+an+1=0，所以{an+an+1}不是等比数列，故D错误； 对于其他选项，均满足等比数列通项公式的性质. 23 反 思 感 悟 由等比数列构造新的等比数列，一定要检验新的数列中是否有为0的项，主要是针对q<0的情况. 设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai+1的矩形面积(i=1，2，…)，则{An}为等比数列的充要条件为 A.{an}是等比数列 B.a1，a3，…，a2n-1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列 C.a1，a3，…，a2n-1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列 D.a1，a3，…，a2n-1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比 相同 跟踪训练 2 √ 25 因为Ai是边长为ai，ai+1的矩形面积(i=1，2，…)， 所以Ai=aiai+1(i=1，2，…)， 则数列{An}的通项为An=anan+1. 根据等比数列的定义， 数列{An}为等比数列的充要条件是===q(常数). 26 三 灵活设项求解等比数列 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且首末两数的和是16，中间两数的和是12.求这四个数. 例 3 方法一　从前三个数入手，设这四个数依次为a-d，a，a+d，， 由条件得 解得 当a=4，d=4时，所求四个数为0，4，8，16； 当a=9，d=-6时，所求四个数为15，9，3，1. 故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1. 方法二　从后三个数入手，设这四个数依次为-a，，a，aq(q≠0)， 由条件得 解得 当q=2，a=8时，所求四个数为0，4，8，16； 当q=，a=3时，所求四个数为15，9，3，1. 故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1. 方法三　从首末两项的和与中间两项的和入手，设这四个数依次为x，y，12-y，16-x， 由已知得 解得 故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1. 若将本例中“和是16”改为“积是-128”，将“和是12”改为“积是16”，如何求解？ 延伸探究 设这四个数依次为-aq，，aq，aq3(q≠0). 则由已知得 由①得a2=16，∴a=4或a=-4. 由②得2a2q2-a2q4=-128. 将a2=16代入整理，得q4-2q2-8=0，解得q2=4或q2=-2(舍去)， ∴q=2或q=-2. ∴所求四个数为-4，2，8，32或4，-2，-8，-32. 反 思 感 悟 在解决与等比数列有关的数的设法时常用的规律 对称设元法：一般地，连续奇数个项成等比数列，可设为…，，x，xq，…；连续偶数个项成等比数列，可设为…，，，xq，xq3，…(注意：此时公比q2>0，并不适合所有情况)，这样既可以减少未知量的个数，也使得解方程较为方便. 三个互不相等的数构成等差数列，如果适当排列这三个数，又可构成等比数列，这三个数的和为6，求这三个数. 跟踪训练 3 由已知，可设这三个数为a-d，a，a+d，d≠0，则a-d+a+a+d=6，即a=2，这三个数可表示为2-d，2，2+d. ①若2-d为2和2+d的等比中项， 则(2-d)2=2(2+d)， 解得d=6或d=0(舍去)，此时这三个数为-4，2，8. ②若2+d为2-d和2的等比中项， 则(2+d)2=2(2-d)， 解得d=-6或d=0(舍去)，此时这三个数为8，2，-4. ③若2为2-d和2+d的等比中项， 则22=(2+d)(2-d)，解得d=0(舍去). 综上，这三个数为-4，2，8. 四 等比数列的应用 某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值. (1)用一个式子表示n(n∈N*)年后这辆车的价值； 例 4 从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为a1，a2，a3，…，an，…， 由题意，得a1=13.5，a2=13.5×(1-10%)，a3=13.5×(1-10%)2，…. 由等比数列的定义，知数列{an}是等比数列， 首项a1=13.5，公比q=1-10%=0.9， ∴an=a1·qn-1=13.5×0.9n-1. ∴n年后车的价值为an+1=(13.5×0.9n)万元. (2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？ 由(1)得a5=a1·q4=13.5×0.94≈8.9(万元)， ∴用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到8.9万元. 反 思 感 悟 等比数列实际应用问题的关键是建立数学模型，即将实际问题转化成等比数列的问题，解数学模型即解等比数列问题，最后注意数学问题再转化为实际问题作答. 窗花(俗称剪纸)蕴含着辞旧迎新、接福纳祥的美好寓意.一位艺术家把一张厚度(单位：cm)为0.012 5的纸对折了三次，开始进行剪纸创作，若不计纸与纸之间的间隙，则对折后的半成品厚度是　　 mm.  跟踪训练 4 1 由题设，对折了三次后半成品厚度为0.012 5×23=0.1(cm)，即1 mm. 1.知识清单： (1)等比数列的性质. (2)由等比数列构造新数列. (3)灵活设项解等比数列. (4)等比数列的应用. 2.方法归纳：公式法、构造法、转化法、建模思想. 3.常见误区： (1)构造新的等比数列易忽视有等于0的项. (2)四个数成等比数列时设成，，aq，aq3，未考虑公比为负的情况. 课堂小结 随堂演练 五 1.已知{an}，{bn}都是等比数列，那么 A.{an+bn}，{anbn}都一定是等比数列 B.{an+bn}一定是等比数列，但{anbn}不一定是等比数列 C.{an+bn}不一定是等比数列，但{anbn}一定是等比数列 D.{an+bn}，{anbn}都不一定是等比数列 √ 当两个数列都是等比数列时，这两个数列的和不一定是等比数列，比如取两个数列是互为相反数的数列，两者的和就不是等比数列. 两个等比数列的积一定是等比数列. 1 2 3 4 2.已知数列{an}为各项都是正数的等比数列，=9a1·a9，则等于 A.3　　　B.　　　C.　　　D. √ 设正项等比数列{an}的公比为q，则an>0，q>0. 由等比数列的性质得=9a1·a9=9， ∴a6=3a5，∴q=3， 则===. 1 2 3 4 3.等比数列{an}为递减数列，若a7·a14=6，a4+a17=5，则等于 A. B. C. D.6 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 ∵a7·a14=a4·a17=6，a4+a17=5， ∴a4与a17为方程x2-5x+6=0的两个根， 解得a4=2，a17=3或a4=3，a17=2， ∵an>an+1，∴a4=3，a17=2， 方法一　 ∴q13==，则===. 1 2 3 4 方法二　==q13=， 则===. 1 2 3 4 4.有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，第一个数与第四个数的和为21，中间两个数的和为18，则这四个数为____________ __________________.  3，6，12， 18或，，， 1 2 3 4 方法一　设前三个数分别为，a，aq(q≠0)，则第四个数为2aq-a. 由题意得 解得 当q=2，a=6时，这四个数为3，6，12，18； 当q=，a=. 1 2 3 4 方法二　设后三个数为a-d，a，a+d，则第一个数为， 由题意得解得 ∴这四个数为3，6，12，18或. 课时对点练 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.在等比数列{an}中，如果a6=6，a9=9，那么a3等于 A.4 B. C. D.2 √ 由等比数列的性质可得=a9a3，得a3=4. 2.在数列{an}中，对任意n∈N*，都有an+1-2an=0(an≠0)，则等于 A.1　　　B.　　　C.　　　D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 由an+1-2an=0知an+1=2an，故{an}是等比数列，且q=2， 则====. 3.在等比数列{an}中，a1，a99是方程x2-10x+16=0的两个根，则a50的值为 A.10 B.16 C.±4 D.4 √ 依题意，得a1·a99=16，而a1·a99=， 所以a50=±4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.画一个边长为2的正方形，再以这个正方形的一条对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的一条对角线为边画第3个正方形……这样共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于 A.2 024　　　B.1 012　　　C.2 048　　　D.4 096 √ 依题意，得这10个正方形的边长构成以2为首项，为公比的等比数列{an}，所以an=2×()n-1， 所以第10个正方形的面积S==[2×()9]2=4×29=2 048. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.若a，b，c成等比数列，其中a，b，c均是不为1的正数，n是大于1的整数，那么logan，logbn，logcn A.是等比数列 B.是等差数列 C.每项取倒数成等差数列 D.每项取倒数成等比数列 √ 因为a，b，c成等比数列，可知logna，lognb，lognc成等差数列， 即成等差数列. 6.若正项数列{an}满足a1=2，-3an+1an-4=0，则数列{an}的通项公式an等于 A.22n-1 B.2n C.22n+1 D.22n-3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由-3an+1an-4=0，得(an+1-4an)·(an+1+an)=0. 又{an}是正项数列， 所以an+1-4an=0，=4. 由等比数列的定义知数列{an}是以2为首项， 4为公比的等比数列. 由等比数列的通项公式， 得an=2×4n-1=22n-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.在等比数列{an}中，若a7+a8+a9+a10=，a8a9=-，则+++=　　.  因为+=+=，由等比数列的性质知a7a10=a8a9， 所以+++==÷=-. - 8.已知各项都为正数的等比数列{an}中，a2·a4=4，a1+a2+a3=14，则满足an·an+1·an+2>的最大正整数n的值为　　　.  4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设数列{an}的公比为q(q>0)，∵a2·a4=4=，且a3>0，∴a3=2， 又a1+a2+a3=++2=14，∴=-3(舍去)或=2，即q=，a1=8. 又an=a1qn-1=8×=，∴an·an+1·an+2=>， 即23n-9<9，∵n∈N*， ∴n的最大值为4. 9.已知等比数列{an}的首项a1=16，公比q=，在{an}中每相邻两项之间都插入3个正数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等比数列{bn}. (1)求数列{bn}的通项公式； 由已知得，数列{bn}的首项b1=16，b5=a2=16×=1， 设数列{bn}的公比为q1(q1>0)， 即===，∴q1=， 即bn=b1=16×=25-n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)记数列{bn}前n项的乘积为Tn，试问：Tn是否有最大值？如果有，请求出此时n的值以及最大值；若没有，请说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Tn=b1·b2·b3·…·bn=24·23·…·25-n =24+3+2+…+(5-n) == =， 即当n=4或5时， Tn有最大值=210=1 024. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知{an}为等差数列，且a1+a3=8，a2+a4=12. (1)求{an}的通项公式； 设数列{an}的公差为d，由题意知 所以an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)记{an}的前n项和为Sn，若a1，ak，Sk+2成等比数列，求正整数k的值. 由(1)可得Sn===n(1+n). 因为a1，ak，Sk+2成等比数列， 所以=a1Sk+2， 从而(2k)2=2(k+2)(k+3)， 即k2-5k-6=0，解得k=6或k=-1(舍去)，因此k=6. 11.已知数列{an}满足a2=1，a3=6，且数列{an+n}为等比数列，则a4的值为 A.23　　　B.32　　　C.36　　　D.40 综合运用 √ 设bn=an+n，则{bn}为等比数列， 设公比为q，则b2=a2+2=3，b3=a3+3=9， ∴q=3， ∴b4=b3·3=9×3=27， 即a4+4=27，∴a4=23. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.已知等比数列{an}是递减数列，前n项的积为Tn，若T13=4T9，则a8a15等于 A.±2 B.±4 C.2 D.4 √ ∵T13=4T9， ∴a1a2·…·a9a10a11a12a13=4a1a2·…·a9， ∴a10a11a12a13=4. 又∵a10a13=a11a12=a8a15， ∴(a8a15)2=4， ∴a8a15=±2. 又∵{an}为递减数列， ∴q>0，∴a8a15=2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.(多选)已知数列{an}为等差数列，{bn}为等比数列，{an}的前n项和为Sn，若a1+a6+a11=3π，b1b5b9=8，则 A.S11=11π B.sin = C.a3+a7+a8=3π D.b3+b7≥4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为数列{an}为等差数列，{bn}为等比数列，a1+a6+a11=3π，b1b5b9=8，所以a1+a6+a11=3a6=3π，即a6=π，b1b5b9==8，即b5=2. 对于A，S11==11a6=11π，故A正确； 对于B，a2+a10=2a6=2π，b4b6==4，所以sin =sin =1，故B错误； 对于C，设等差数列{an}的公差为d，则a3+a7+a8=a6-3d+a6+d+a6+2d= 3a6=3π，故C正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于D，由b5=2，得b3，b7>0，故b3+b7≥2=2=4，当且仅当b3=b7=2时等号成立，故D正确. 14.已知数列{an}是公比不为1的等比数列，=，则mn=_____________ ___________________________.(写出满足上述条件的一个值即可)  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在等比数列{an}中，由=得am·an=a3·a5， 所以m+n=3+5=8，不妨令m≤n， 则m，n的不同取值有m=1，n=7；或者m=2，n=6； 或者m=3，n=5；或者m=n=4，所以mn的所有取值为7，12，15，16. 7(答案不唯一， 7，12，15，16中任一个均可) 15.已知在等差数列{an}中，a2+a4=16，a1+1，a2+1，a4+1成等比数列，把各项按如图所示排列.则从上到下第10行，从左到右的第11个数值为　　　　　.  拓广探究 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 275或8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设数列{an}的公差为d， 由a2+a4=16，得a1+2d=8， ① 由a1+1，a2+1，a4+1成等比数列， 得(a2+1)2=(a1+1)(a4+1)， 整理得d2-a1d-d=0， ② 由①②解得d=3或d=0， 当d=3时，a1=2，an=3n-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题图可得第10行第11个数为数列{an}中的第92项，a92=3×92-1=275. 当d=0时，an=8，a92=8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=1，nSn+1-(n+1)Sn=，n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由nSn+1-(n+1)Sn=，得-=， ∴数列=1，公差为的等差数列， ∴=1+(n-1)=(n+1)，∴Sn=. 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-=n. a1=1也适合上式，∴an=n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)是否存在正整数k，使ak，S2k，a4k成等比数列？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由. 由(1)知an=n，Sn=. 假设存在正整数k，使ak，S2k，a4k成等比数列， 则=ak·a4k，即=k·4k. ∵k为正整数，∴(2k+1)2=4. 得2k+1=2或2k+1=-2， 解得k=或k=-，与k为正整数矛盾. ∴不存在正整数k，使ak，S2k，a4k成等比数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 第四章 <<< $$