第二章 第13节 第1课时 利用导数证明不等式（课件+作业）-2020高考理科数学【创新教程】大一轮高考总复习（人教版）

第13节　导数的综合应用 第1课时　利用导数证明不等式 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 利用导数证明不等式是高考考查的重点和热点，常转化为函数的单调性、最值问题求证. 考点一　构造法证明一元不等式(师生共研) [典例1]　(理科)(2018·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)＝(2＋x＋ax2)ln(1＋x)－2x.[来源:学|科|网Z|X|X|K] (1)若a＝0，证明：当－1<x<0时，f(x)<0；当x>0时，f(x)>0； (2)若x＝0是f(x)的极大值点，求a. [证明]　(1)当a＝0时， f(x)＝(2＋x)ln(x＋1)－2x. 若f(x)有意义，则x＋1>0，∴x>－1. f′(x)＝＋ln(x＋1)－1.＋ln(x＋1)－2＝ ∴f″(x)＝－＝＋ 当－1<x<0时，f″(x)<0，当x>0时，f″(x)>0. 则f′(x) 在(－1,0)上单调递减，(0，＋∞)上单调递增， 有f′(x)min＝f′(0)＝1＋0－1＝0， 故f′(x)≥0对于x>－1恒成立，则f(x)在(－1，＋∞)上单调递增， 而f(0)＝2×0－0＝0. 故当－1<x<0时，f(x)<f(0)＝0，当x>0时，f(x)>f(0)＝0. (2)f′(x)＝(2ax＋1)ln(x＋1)＋－1， f″(x)＝2a ln(x＋1)＋≤0，＋ 2a(x＋1)2ln(x＋1)＋(2ax＋1)(x＋1)＋ax2＋2ax－1≤0 2a(x＋1)2ln(x＋1)＋3ax2＋4ax＋x≤0 a≤－x 设h(x)＝2(x＋1)2ln(1＋x)＋3x2＋4x； ∴h′(x)＝4(x＋1)ln(1＋x)＋2(x＋1)＋6x＋4； h′(0)＝6>0，h(0)＝0； ∴在x＝0邻域内，x>0时，h(x)>0，x<0时，h(x)<0. x>0时，a≤，得a≤－ x>0时，a≥.得a≥－ 综上所述：a＝－. [典例1]　(文科)(2018·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)＝. (1)求曲线y＝f(x)在点(0，－1)处的切线方程； (2)证明：当a≥1时，f(x)＋e≥0. [解析]　(1)由题意：f(x)＝＝得f′(x)＝ ＝2；即曲线y＝f(x)在点(0，－1)处的切线斜率为2，；∴f′(0)＝ ∴y－(－1)＝2(x－0)，即2x－y－1＝0. (2)证明：当a≥1时，f(x)＋e≥， 令g(x)＝x2＋x－1＋ex＋1， 则g′(x)＝2x＋1＋ex＋1，g′(－1)＝0，g′(x)在R上为增函数． 当x＜－1时，g′(x)＜0，g(x)单调递减； 当x＞－1时，g′(x)＞0，g(x)单调递增． 所以g(x)≥g(－1)＝0. 因此当a≥1，f(x)＋e≥0. 　　[来源:学科网ZXXK] 利用导数法证明不等式f(x)>g(x)在区间D上恒成立的基本方法是构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，然后根据函数h(x)的单调性或最值证明h(x)>0.若函数f(x)与g(x)的最值易求出，可直接转化为证明f(x)min>g(x)max；若函数f(x)与g(x)的最值不易求出，可对h(x)＝f(x)－g(x)适当变形后进行转化． [跟踪训练1] (2019·莆田市模拟)已知函数p(x)＝x2－(1＋2a)x.，q(x)＝ (1)讨论函数f(x)＝q(x)＋2ax·p(x)的单调性； (2)当a＝0时，证明：xp(x)＋q(x)＜ex＋x2－x－1. 解：(1)f(x)＝x2－(1＋2a)x＋2aln x，定义域为(0，＋∞)， 则f′(x)＝x－(1＋2a)＋.＝ ①当a≤0时，x－2a＞0， ∴当0＜x＜1时，f′(x)＜0，当x＞1时，f′(x)＞0， 所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． ②当0＜a＜时，0＜2a＜1， ∴当0＜x＜2a或x＞1时，f′(x)＞0，当2a＜x＜1时，f′(x)＜0， 所以f(x)在(0,2a)上单调递增，在(2a,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， ③当a＝≥0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 时，f′(x)＝ ④当a＞时，2a＞1， ∴当0＜x＜1或x＞2a时，f′(x)＞0，当1＜x＜2a时，f′(x)＜0， 所以，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,2a)上单调递减，在(2a，＋∞)上单调递增． (2)证明：当a＝0时，要证xp(x)＋q(x)＜ex＋x2－x－1， 即证ln x＋x2－x－1，只需证明：ex－ln x－1＞0.x2－x＜ex＋ 设g(x)＝ex－ln x－1，则g′(x)＝ex－＞0，，g″(x)＝ex＋ 所以g′(x)在(0，＋∞)上单调递增，又g′－2＜0，g′(1)＝e－1＞0，＝ 所以存在唯一x0∈，∴－ln x0＝x0.使得g′(x0)＝0，即e