第二章 第13节 第3课时 利用导数研究函数的零点问题（课件+作业）-2020高考理科数学【创新教程】大一轮高考总复习（人教版）

第3课时　利用导数研究函数的零点问题 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 可以利用转化与化归思想解决此类问题，即转化为相应方程根的问题或函数图象交点的问题，是高考考查的热点. 考点一　确定函数零点(相应方程根)的个数 [典例1]　(理科)已知函数f(x)＝ln x－ax2(a∈R)． (1)若f(x)在点(2，f(2))处的切线与直线x－2y＋1＝0垂直，求实数a的值； (2)求函数f(x)的单调区间； (3)讨论函数f(x)在区间[1，e2]上零点的个数． [解析]　(1)f(x)的定义域是(0，＋∞)． ∵f(x)＝ln x－ax2， ∴f′(x)＝.－ax＝ ∵直线x－2y＋1＝0的斜率是，[来源:学科网ZXXK] ∴.＝－1，∴a＝× (2)由(1)得f′(x)＝. 当a≤0时，f′(x)＞0，∴f(x)在(0，＋∞)递增． a＞0时，由f′(x)＞0，得x＜；由f′(x)＜0，[来源:学*科*网Z*X*X*K] 解得x＞， ∴f(x)在递减．[来源:学#科#网]递增，在 综上，当a≤0时，函数f(x)的递增区间是(0，＋∞)， a＞0时，函数f(x)的递增区间是.，递减区间是 (3)法一：由f(x)＝0，得a＝. 令g(x)＝.，则g′(x)＝ 由g′(x)＞0得，1＜x＜＜x＜e2，；由g′(x)＜0，得 ∴g(x)在区间[1，，e2]递减． ]递增，在区间[ 又∵g(1)＝0，g(，，g(e2)＝)＝ ∴当0≤a＜时，f(x)在[1，e2]上有一个零点；或a＝ 当时，f(x)在[1，e2]上有2个零点；≤a＜ 当a＜0或a＞时，f(x)在[1，e2]上没有零点． 法二：由(2)可知： 当a＜0时，f(x)在[1，e2]递增，∵f(1)＝－a＞0， ∴f(x)在[1，e2]上有一个零点． 当a＞0时， ①若≤1，即a≥1时，f(x)在[1，e2]递减． ∵f(1)＝－a＜0，∴f(x)在[1，e2]上没有零点．[来源:学科网ZXXK] ②若1＜递减．[来源:学科网]上递增，在＜a＜1时，f(x)在＜e2，即 ∵f(1)＝－ae4.，f(e2)＝2－ln a－＝－a＜0，f 若－时，f(x)在[1，e2]上没有零点；＜0，即a＞ln a－ 若－时，f(x)在[1，e2]上有一个零点；＝0，即a＝ln a－ 若，此时f(x)在[1，e2]有一个零点；ae4＞0得a＜时，由f(e2)＝2－＞0，即a＜ln a－ 由f(e2)＝2－，此时在[1，e2]上有2个零点． ae4≤0，得a≥ ③若时，f(x)在[1，e2]单调递增． ≥e2，即0＜a≤ ∵f(1)＝－ae4＞0，a＜0，f(e2)＝2－ ∴f(x)在[1，e2]上有1个零点． 综上，当0≤a＜时，f(x)在[1，e2]上有1个零点；或a＝ 当时，f(x)在[1，e2]上有2个零点，≤a＜ 当a＜0或a＞时，f(x)在[1，e2]没有零点， (法三：本题还可以转化为ln x＝ax2的图象的交点个数问题，可用数形结合的方法求解)．ax2，再转化为y＝ln x与y＝ [典例1]　(文科)已知函数f(x)＝x3－a(x2＋x＋1)． (1)若a＝3，求f(x)的单调区间； (2)证明：f(x)只有一个零点． [解析]　(1)当a＝3时，f(x)＝x3－3x2－3x－3， f′(x)＝x2－6x－3. 令f′(x)＝0解得x＝3－2.或x＝3＋2 当x∈时，f′(x)>0；∪ 当x∈时，f′(x)<0. 故f(x)在单调递减． 单调递增，在， (2)证明：由于x2＋x＋1>0，所以f(x)＝0等价于－3a＝0. 设g(x)＝≥0，仅当x＝0时g′(x)＝0，所以g(x)在(－∞，＋∞)单调递增，故g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点． －3a，则g′(x)＝ 又f(3a－1)＝－6a2＋2a－>0，故f(x)有一个零点． <0，f(3a＋1)＝2－＝－6 综上，f(x)只有一个零点． 　　 研究函数f(x)零点的策略是： (1)如果函数f(x)在已知区间上是单调的，则其最多只有一个零点，再结合函数的零点存在定理，确定其零点是否存在． (2)如果函数f(x)在已知区间不是单调的，则求出这个函数的极值点和单调区间，再结合g(x)的极值与零的大小，以及函数f(x)的单调性、结合零点存在定理判断其零点的个数． [跟踪训练1] 设函数f(x)＝x2－mln x，g(x)＝x2－(m＋1)x. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)当m≥1时，讨论函数f(x)与g(x)图象的交点个数． 解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝， 当0<x<时，f′(x)＜0，函数f(x)的单调递减； 当x>时，f′(x)＞0，函数f(x)的单调递增．