专题09 三角形中边角关系（知识点串讲）-2019-2020学年八年级数学上册期末考点大串讲（沪科版）

专题09 三角形中边角关系 知识框架 重难突破 一、三角形的定义及分类 1. 三角形的定义： 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 备注：（1）三角形的基本元素： ①三角形的边：即组成三角形的线段； ②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）三角形定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. (3) 三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示． 2．三角形的分类 (1)按角分类： 备注：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. (2)按边分类： 备注：①等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角; ②等边三角形：三边都相等的三角形. 例1．（2018·安徽省亳州市蒙城中学初二期中）三角形按角分类可以分为（　　） A．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 B．等腰三角形、等边三角形、不等边三角形 C．直角三角形、等边直角三角形 D．以上答案都不正确 练习1．（2019·安徽无为三中初二期中）∠A、∠B、∠C是ΔABC的三个内角，且 则ΔABC是( ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.无法确定 二、三角形的三边关系 1、三边关系定理与推论 定理：三角形任意两边的和大于第三边. 推论：三角形任意两边的差小于第三边. 备注：（1）理论依据：两点之间线段最短. （2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． （3）证明线段之间的不等关系. 例1．（2018·全国初二期中） 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A．1，1，2 B．3，4，5 C．1，4，6 D．2，3，7 练习1．（2018·安徽初二期中）一个三角形的三边长分别为a，b，c，则a，b，c的值不可能是（　　） A．3，4，5 B．5，7，7 C．10，6，4.5 D．4，5，9 例2．（2018·颍上县第五中学初二期中）等腰三角形的一条边长为4cm,另一条边长为6cm，则它的周长是 （ ） A．10cm B．14cm C．16cm D．14cm或16cm 练习1．（2018·安徽初二期末）已知三角形的三边长分别为2、x、10，若x为正整数，则这样的三角形个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 例3．（2019·合肥市寿春中学初二期中）等腰三角形两边长为 ，则第三边的长是（ ） A. B. C. D. 或 练习1．（2018·安徽省亳州市蒙城中学初二期中）若（a﹣2）2+|b﹣3|＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．7或8 练习2．（2019·合肥市第四十二中学初二期中）若△ABC的三边的长AB＝5，BC＝2a+1，AC＝3a﹣1，则a的取值范围为_____． 三、三角形的高、中线与角平分线 1、三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高． 三角形的高的数学语言： 如下图，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC边上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°. 注意：AD是ΔABC的高∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC于D)； 备注：（1）三角形的高是线段； （2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心； （3）三角形的三条高： (ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部； (ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部； (ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点. 2、三角形的中线 三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线． 三角形的中线的数学语言： 如下图，AD是ΔABC的中线或AD是ΔABC的BC边上的中线或BD＝CD＝BC. 备注：（1）三角形的中线是线段； (2)三角形三条中线全在三角形内部； (3)三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心； (4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形. 3、三角形的角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做