第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 章节整合练习（8个知识点+40题练习）-2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 章节整合练习（8个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．三角形 （1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 组成三角形的线段叫做三角形的边． 相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点． 相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角． （2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）． （3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高． （4）三角形具有稳定性． 知识点2．三角形的角平分线、中线和高 （1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． （2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． （3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． （4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段． （5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 知识点3．三角形的面积 （1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高． （2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 知识点4．三角形三边关系 （1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． （2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． （3）三角形的两边差小于第三边． （4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略． 知识点5．三角形内角和定理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 知识点6．三角形的外角性质 （1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （2）三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． （3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． （4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． 知识点7．命题与定理 1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 3、定理是真命题，但真命题不一定是定理． 4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 知识点8．推理与论证 （1）推理定义：由一个或几个已知的判断（前提），推导出一个未知的结论的思维过程． ①演绎推理是从一般规律出发，运用逻辑证明或数学运算，得出特殊事实应遵循的规律，即从一般到特殊． ②归纳推理就是从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论，即从特殊到一般． （2）论证：用论据证明论题的真实性． 证明中从论据到论题的推演．通过推理形式进行，有时是一系列的推理方式．因此，论证必须遵守推理的规则．有时逻辑学家把“证明”称为“论证”，而将“论证”称为“论证方式”． 简单来说，论证就是用一个或一些真实的命题确定另一命题真实性的思维形式． 章节题型整合练习 一．三角形 1．（2023秋•无为市月考）如图，在中，，分别为，上的点，则以为顶点的三角形的个数为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2021秋•禹会区校级期中）三角形按边分类可分为　　 A ． 不等边三角形、 等边三角形 B ． 等腰三角形、 等边三角形 C ． 不等边三角形、 等腰三角形、 等边三角形 D ． 不等边三角形、 等腰三角形 3．（2023秋•阜南县校级期中）如图，以为边的三角形的个数是 　　． 4．（2021•裕安区校级开学）一个等腰三角形的顶角是锐角，则它一定是锐角三角形． 　　（判断对错） 二．三角形的角平分线、中线和高 5．（2023秋•肥西县期末）如图，在中，，，是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是　　 A．是的中线 B．是的角平分线 C． D．是的高 6．（2023秋•蚌山区期中）如图，在中，，为边的中线，的周长与的周长相差3，，则　　． 7．（2024•庐江县校级模拟）如图，，，分别是的中线、高和角平分线，，交于点，交于点，则下列结论一定正确的是　　 A． B． C． D． 8．（2023春•颍州区校级期末）定义：我们把三角形某边上中线的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中高偏度值”．如图，在中，，，，则中边的“中高偏度值”为 　　． 9．（2023秋•无为市月考）如图，在中，是中线，，． （1）求与的周长差． （2）点在边上，连接，若与四边形的周长相等，求线段的长． 10．（2023秋•合肥月考）如图，在中，、分别为的中线和高，为的角平分线．若，，求的大小． 三．三角形的面积 11．（2023秋•利辛县期末）如图，在中，已知点，，分别是、、的中点，且的面积是4，则的面积是　　 A．2 B．3 C．4 D．4.5 12．（2023秋•雨山区校级期中）如图，在中，，，，分别是边，上的高，且，则的长为 　　． 13．（2023秋•花山区校级期中）如图，在中，点、、分别为边、、的中点，且，则　　． 14．（2023秋•金安区校级期末）如图，若方格纸中每个小正方形的边长为1，则阴影部分面积为　　 A．5 B．6 C． D． 15．（2023秋•蜀山区校级期中）如图所示，已知，分别是的高和中线，，，，． （1）求的长． （2）求的面积． 16．（2023秋•合肥月考）在平面直角坐标系中，，，对于任意的实数，我们称点为点和点的系点．例如：已知，，点和点的2系点为．已知，． （1）点和点的3系点的坐标为 　　（直接写出答案）； （2）已知点，若点和点的系点为点，点在第二、四象限的角平分线上． ①求的值； ②连接，若轴，求的面积． 四．三角形三边关系 17．（2023秋•含山县校级月考）已知，，是的三边长，满足，为整数，则　　． 18．（2023秋•和县期末）在下列长度的四根木棒中，能与，长的两根木棒钉成一个三角形的是　　 A． B． C． D． 19．（2023秋•无为市月考）甲地离学校的距离为，乙地离学校的距离为，若记甲、乙两地的距离为，则的取值范围是 　　． 20．（2024春•颍泉区校级月考）一个三角形的两边长分别是1和3，则第三边的长可能是　　 A．1 B．2 C．3 D．7 21．（2023秋•青阳县期末）已知三角形的三边长分别为，，，化简：． 22．（2023秋•蜀山区期中）已知三角形的三条边长为3、5和． （1）若3是该三角形的最短边长，求的取值范围； （2）若为整数，求三角形周长的最大值． 五．三角形内角和定理 23．（2023秋•怀宁县期末）在中，，则是　　三角形． A．锐角 B．直角 C．钝角 D．等腰直角 24．（2023秋•淮北期末）如图，在中，与的平分线交于点，设的度数为度，的度数为度，则与之间的函数关系式为 　　． 25．（2023秋•庐阳区校级期中）如图，在中，平分，于点．的角平分线所在直线与射线相交于点，若，且，则的度数为　　 A． B． C． D． 26．（2021秋•芜湖期中）如图，在中，，、分别平分，，、、分别在、、的延长线上，、分别平分，，、分别平分、，则　　． 27．（2022秋•合肥月考）如图，点，，，在的边上，且，． （1）求证：； （2）若平分，，求的度数． 28．（2023秋•凤阳县月考）如图，在中，分别延长的边，到点，，与的平分线相交于点，爱动脑筋的小明在写作业时发现如下规律： ．若，则； ．若，则； ．若，则； （1）根据上述规律，若，则　　． （2）　　．（用含的式子表示） （3）请证明（2）中的结论． 六．三角形的外角性质 29．（2023秋•寿县期末）如图，已知，，，那么　　度． 30．（2023秋•合肥期末）如图，在中，是延长线上一点，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 31．（2020秋•全椒县期中）如图在中，，分别平分，，交于，为外角的平分线，交的延长线于点，记，，则以下结论 ①，②，③，④，正确的是　　．（把所有正确的结论的序号写在横线上） 32．（2023秋•宁国市期末）将一副三角板如图所示放置，则图中的度数是　　 A． B． C． D． 33．（2023秋•无为市月考）如图，，分别是两边，上的动点（均不与点重合）． （1）如图1，当时，的外角，的平分线交于点，则　61　； （2）如图2，当时，，的平分线交于点，则　　（用含的式子表示）； （3）如图3，当为定值，时，是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点．随着点，的运动，的大小会改变吗？如果不会，求出的度数（用含的式子表示）；如果会，请说明理由． 34．（2023秋•瑶海区校级期中）如图，是的边上一点，，， 求：（1）的度数；（2）的度数． 解题 七．命题与定理 35．（2023秋•庐阳区校级期中）下列命题中，真命题的个数是　　 ①内错角相等； ②若函数是关于的一次函数，则的值是； ③三角形的三条高相交于同一点； ④在同一平面内，若，，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 36．（2022秋•蒙城县期末）命题“如果，那么”的逆命题是　　． 37．（2023秋•贵池区期末）“对顶角相等”这个命题的逆命题是 　 　． 38．（2023秋•阜南县校级期中）写出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假： （1）两直线平行，同旁内角互补； （2）如果ab＝0，那么a＝0，b＝0． 39．（2022秋•临泉县校级期中）如图，已知：是的一个外角． （1）请从①，②平分，③中任选两个当条件，第三个当结论构成一个真命题． 条件：　　； 结论：　　． （2）证明你所构建的命题是真命题． 八．推理与论证 40．（2023秋•瑶海区校级月考）甲、乙、丙、丁四个人参加一个比赛，有两个人获奖．在比赛结果揭晓之前，四个人做了如下猜测： 甲：两名获奖者在乙、丙、丁中．乙：我没有获奖，丙获奖了． 丙：甲、乙两个人中有且只有一个人获奖．丁：乙说得对． 已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，则两名获奖者为　　 A．甲 丁 B．乙 丙 C．乙 丁 D．以上都不正确 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 章节整合练习（8个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．三角形 （1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 组成三角形的线段叫做三角形的边． 相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点． 相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角． （2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）． （3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高． （4）三角形具有稳定性． 知识点2．三角形的角平分线、中线和高 （1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． （2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． （3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． （4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段． （5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 知识点3．三角形的面积 （1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高． （2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 知识点4．三角形三边关系 （1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． （2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． （3）三角形的两边差小于第三边． （4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略． 知识点5．三角形内角和定理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 知识点6．三角形的外角性质 （1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （2）三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． （3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． （4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． 知识点7．命题与定理 1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 3、定理是真命题，但真命题不一定是定理． 4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 知识点8．推理与论证 （1）推理定义：由一个或几个已知的判断（前提），推导出一个未知的结论的思维过程． ①演绎推理是从一般规律出发，运用逻辑证明或数学运算，得出特殊事实应遵循的规律，即从一般到特殊． ②归纳推理就是从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论，即从特殊到一般． （2）论证：用论据证明论题的真实性． 证明中从论据到论题的推演．通过推理形式进行，有时是一系列的推理方式．因此，论证必须遵守推理的规则．有时逻辑学家把“证明”称为“论证”，而将“论证”称为“论证方式”． 简单来说，论证就是用一个或一些真实的命题确定另一命题真实性的思维形式． 章节题型整合练习 一．三角形 1．（2023秋•无为市月考）如图，在中，，分别为，上的点，则以为顶点的三角形的个数为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据三角形的定义即可得到结论． 【解答】解：以为顶点的三角形有，，，共4个三角形， 故选：． 【点评】本题考查了三角形，熟练掌握三角形的定义是解题的关键． 2．（2021秋•禹会区校级期中）三角形按边分类可分为　　 A ． 不等边三角形、 等边三角形 B ． 等腰三角形、 等边三角形 C ． 不等边三角形、 等腰三角形、 等边三角形 D ． 不等边三角形、 等腰三角形 【分析】根据三角形按边的分类方法即可确定 ． 【解答】解： 三角形按边分类可分为不等边三角形、 等腰三角形， 故选：． 【点评】本题考查了三角形的分类， 要注意等腰三角形与等边三角形两个概念的区别 ． 3．（2023秋•阜南县校级期中）如图，以为边的三角形的个数是 　4　． 【分析】根据三角形的概念、结合图形写出以为边的三角形． 【解答】解：以为边的三角形的有△，△，△，△，一共有4个． 故答案为：4． 【点评】本题考查的是三角形的认识，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 4．（2021•裕安区校级开学）一个等腰三角形的顶角是锐角，则它一定是锐角三角形． 　　（判断对错） 【分析】根据等边对等角，以及三角形的内角和定理，进行判断即可． 【解答】解：因为等腰三角形的两个底角相等，三角形的三个内角和为， 所以两个底角都是锐角， 又因为顶角也是锐角， 所以这个等腰三角形一定是锐角三角形． 故答案为：． 【点评】本题考查等腰三角形的性质和三角形的分类．掌握等腰三角形的两个底角相等，是解题的关键． 二．三角形的角平分线、中线和高 5．（2023秋•肥西县期末）如图，在中，，，是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是　　 A．是的中线 B．是的角平分线 C． D．是的高 【分析】用已知条件和三角形中线即可判断出选项的正误；利用已知条件和角平分线的定义即可判断出选项的正误；利用角平分线的性质只能得到，但没有办法得到，这样就很容易判断出选项的错误；由于，结合“从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高”即可判断出是否是的高，这样也能得出选项的正误． 【解答】解：、由图可知：是的中线，正确，不符合题意； 、由图可知：是的角平分线，正确，不符合题意； 、是的角平分线， ， 是中线， ， 不正确，符合题意． 、由图可知： 是的高，正确，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了三角形的高线，三角形的角平分线定义，三角形的中线等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键． 6．（2023秋•蚌山区期中）如图，在中，，为边的中线，的周长与的周长相差3，，则　5　． 【分析】根据三角形的中线的概念得到，再根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：为边的中线， ， 的周长与的周长相差3， ， ， ， ， 故答案为：5． 【点评】本题考查的是三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． 7．（2024•庐江县校级模拟）如图，，，分别是的中线、高和角平分线，，交于点，交于点，则下列结论一定正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念、直角三角形的性质、三角形中位线定理判断即可． 【解答】解：、， ， ， ， ，故本选项说法错误，不符合题意； 、当为等腰直角三角形时，， 是中线， 不是角平分线， ，故本选项说法错误，不符合题意； 、是的中线， ， 当时，是的中位线， 则，故本选项说法错误，不符合题意； 、，，， ， ，故本选项说法正确，符合题意； 故选：． 【点评】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握三角形的角平分线、中线和高的概念是解题的关键． 8．（2023春•颍州区校级期末）定义：我们把三角形某边上中线的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中高偏度值”．如图，在中，，，，则中边的“中高偏度值”为 　　． 【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出中边上的中线和该边上的中点到的距离，再求它们的比值即可． 【解答】解：作于点，为的中线， ，，， ， ， ， 解得， ， 为斜边上的中线，， ， ， 即点到的距离为， 中边的“中高偏度值”为， 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，求出边上的中线和该边上的中点到高的距离． 9．（2023秋•无为市月考）如图，在中，是中线，，． （1）求与的周长差． （2）点在边上，连接，若与四边形的周长相等，求线段的长． 【分析】（1）的周长，的周长，由中线的定义可得，即可解答； （2）由图可知三角形的周长，四边形的周长，，所以，则可解得． 【解答】解：（1）的周长，的周长， 是中线， ， 与的周长差：； （2）由图可知： 的周长，四边形的周长， 又的周长与四边形的周长相等，是的中点， ，， ， 又，，， ， ， ． 【点评】本题考查了三角形的中线性质，三角形周长的计算，掌握相关知识点是解题的关键． 10．（2023秋•合肥月考）如图，在中，、分别为的中线和高，为的角平分线．若，，求的大小． 【分析】先利用三角形的外角性质计算出，再利用角平分线定义得到，然后根据高的定义和互余可求出的度数； 【解答】解：， ， 平分， ， 为高， ， ． 【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是．也考查了三角形外角性质和三角形面积公式．本题的关键是充分应用三角形的角平分线、高和中线的定义． 三．三角形的面积 11．（2023秋•利辛县期末）如图，在中，已知点，，分别是、、的中点，且的面积是4，则的面积是　　 A．2 B．3 C．4 D．4.5 【分析】根据中线平分面积的性质，可知，，即可得到答案． 【解答】解：点是的中点， ， 点是的中点， ， ， ， 点是的中点， ， 点是的中点， ， 的面积是4， ， 故选：． 【点评】本题考查三角形中线平分三角形面积的性质，解题的关键是掌握三角形的中线平分三角形的面积． 12．（2023秋•雨山区校级期中）如图，在中，，，，分别是边，上的高，且，则的长为 　　． 【分析】根据三角形面积公式得到，然后把，，代入计算即可． 【解答】解：，分别是边，上的高， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即底高． 13．（2023秋•花山区校级期中）如图，在中，点、、分别为边、、的中点，且，则　1　． 【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，分别求出三角形、、的面积各是多少即可． 【解答】解：点是的中点， ； 点是的中点， ； ， 点是的中点， ． 故答案为：1． 【点评】此题主要考查了三角形的面积的求法，解答此题的关键是要明确：三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形． 14．（2023秋•金安区校级期末）如图，若方格纸中每个小正方形的边长为1，则阴影部分面积为　　 A．5 B．6 C． D． 【分析】根据已知的图形通过推出，利用，可得到，设，根据三角形面积关系即可得出结果． 【解答】解：如图进行标注， ， ， ， ， 设，则， ， ， 解得：， 经检验是方程的解且符合题意， ， 故选：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，分式方程的应用，关键是相似三角形判定定理的应用． 15．（2023秋•蜀山区校级期中）如图所示，已知，分别是的高和中线，，，，． （1）求的长． （2）求的面积． 【分析】（1）根据直角三角形的面积公式即可计算出的长； （2）根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分即可求出的面积． 【解答】解：（1），是边上的高， ， ， 答：的长度为； （2）如图，是直角三角形，， ， 又是边的中线， ． 答：． 【点评】本题考查了三角形的面积，三角形的中线的性质，熟练掌握三角形面积公式和三角形中线的性质是解题的关键． 16．（2023秋•合肥月考）在平面直角坐标系中，，，对于任意的实数，我们称点为点和点的系点．例如：已知，，点和点的2系点为．已知，． （1）点和点的3系点的坐标为 　　（直接写出答案）； （2）已知点，若点和点的系点为点，点在第二、四象限的角平分线上． ①求的值； ②连接，若轴，求的面积． 【分析】（1）根据系点的定义进行求解即可； （2）①根据题意表示出，再结合条件可得相应的横坐标与纵坐标互为相反数，从而可求解； ②由①可求得点，点，结合轴，可求得，从而可确定点，即可求得，点到的距离，从而可求的面积． 【解答】解：（1），， 点和点的3系点的坐标为：， 即， 故答案为：； （2）①点，点和点的系点为点， 点的坐标为：，即， 点在第二、四象限的角平分线上， ， 解得：； ②由①可得：点，点， 轴， ， 解得：， 点， ， 点到的距离为：， ． 【点评】本题主要考查三角形的面积，点的坐标，解答的关键是明确在直角坐标系中第二、四象限的角平分线上的点的坐标互为相反数． 四．三角形三边关系 17．（2023秋•含山县校级月考）已知，，是的三边长，满足，为整数，则　6　． 【分析】先根据非负数的性质可得，，再由三角形的三边关系可得，从而可得答案． 【解答】解：， ，， 解得：，， ，，是的三边长， ， 为整数， ， 故答案为：6． 【点评】本题考查的是非负性的性质，三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边是解题的关键． 18．（2023秋•和县期末）在下列长度的四根木棒中，能与，长的两根木棒钉成一个三角形的是　　 A． B． C． D． 【分析】首先设第三根木棒长为 ，根据三角形的三边关系定理可得，计算出的取值范围，然后可确定答案． 【解答】解：设第三根木棒长为 ，由题意得：， ， 选项符合题意， 故选：． 【点评】本题考查了能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形． 19．（2023秋•无为市月考）甲地离学校的距离为，乙地离学校的距离为，若记甲、乙两地的距离为，则的取值范围是 　　． 【分析】甲乙两地的地理位置有两种情况：（1）甲乙都在学校同侧；（2）甲乙在学校两侧． 再根据已知条件列出不等式，化简即可． 【解答】解：甲乙都在学校同侧，则； 甲乙在学校两侧，则； 则的取值范围为：． 【点评】本题考查的是三角形的三边关系．先分别求出三点同线的情况，即为最短距离和最长距离两种情况，则的取值即在这两者之间． 20．（2024春•颍泉区校级月考）一个三角形的两边长分别是1和3，则第三边的长可能是　　 A．1 B．2 C．3 D．7 【分析】根据已知边长求第三边的取值范围为：，因此只有选项符合． 【解答】解：设第三边长为， 则， ， 所以四个选项中第三边的长只有3符合，故符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了三角形的三边关系，关键掌握已知三角形的两边长，则第三边的范围为大于两边差且小于两边和． 21．（2023秋•青阳县期末）已知三角形的三边长分别为，，，化简：． 【分析】三角形三边满足的条件是：两边和大于第三边，两边的差小于第三边，根据此来确定绝对值内的式子的正负，从而化简计算即可． 【解答】解：的三边长分别是、、， 必须满足两边之和大于第三边，两边的差小于第三边，则，，， ． 【点评】此题考查了三角形三边关系，此题的关键是先根据三角形三边的关系来判定绝对值内式子的正负． 22．（2023秋•蜀山区期中）已知三角形的三条边长为3、5和． （1）若3是该三角形的最短边长，求的取值范围； （2）若为整数，求三角形周长的最大值． 【分析】（1）由三角形三边关系解答； （2）利用（1）中求得的的取值范围，确定整数的值；然后由三角形的周长公式解答． 【解答】解：（1）由题意得：，即． 是最短边长， ． 的取值范围是； （2）由（1）可知，， 为整数， 的最大值为7． 三角形周长的最大值为． 【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略． 五．三角形内角和定理 23．（2023秋•怀宁县期末）在中，，则是　　三角形． A．锐角 B．直角 C．钝角 D．等腰直角 【分析】设，则，根据三角形内角和定理列出方程，解得，得出该三角形为锐角三角形． 【解答】解：设，则， 根据三角形内角和定理，， ， 解得， ，， 故该三角形为锐角三角形． 故选：． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，能熟记定理的内容是解此题的关键． 24．（2023秋•淮北期末）如图，在中，与的平分线交于点，设的度数为度，的度数为度，则与之间的函数关系式为 　　． 【分析】在中，利用三角形内角和定理，可得出，由角平分线的定义，可得出，进而推导出． 【解答】解：如图，与相交于点， 与的平分线交于点，， ，． ，， ， ①， 又， ， ②， ①②得：， 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及函数关系式，根据各角之间的关系，找出与之间的函数关系式是解题的关键． 25．（2023秋•庐阳区校级期中）如图，在中，平分，于点．的角平分线所在直线与射线相交于点，若，且，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】由题意平分，平分，推出，，设，设，，想办法用含和的代数式表示和即可解决问题． 【解答】解：如图： 平分，平分， ，， 设，，， 由外角的性质得： ，， ，解得， ， ． 故选：． 【点评】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型． 26．（2021秋•芜湖期中）如图，在中，，、分别平分，，、、分别在、、的延长线上，、分别平分，，、分别平分、，则　　． 【分析】根据三角形外角的性质和角平分线的性质可求出，利用三角形内角和定理求出，得到，从而求出，再次利用角平分线的性质与三角形内角和定理即可求解． 【解答】解：如图， ，分别平分，， ，， ，， ， ，分别平分，， ，， ， ， ， ， ，分别平分，， ，， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的性质，熟练掌握三角形内角和定理三角形外角性质，角平分线的性质是解题的关键． 27．（2022秋•合肥月考）如图，点，，，在的边上，且，． （1）求证：； （2）若平分，，求的度数． 【分析】（1）由平行线的性质得，再根据补角性质得，便可由平行线的判定得结果； （2）先由平行线的性质求得，再由平分线的定义求得，再由平行线的性质求得结果． 【解答】（1）证明：， ， ． ， ； （2）解：，， ， 平分， ， ， ． 【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质以及三角形内角和定理的运用，关键是明确平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． 28．（2023秋•凤阳县月考）如图，在中，分别延长的边，到点，，与的平分线相交于点，爱动脑筋的小明在写作业时发现如下规律： ．若，则； ．若，则； ．若，则； （1）根据上述规律，若，则　　． （2）　　．（用含的式子表示） （3）请证明（2）中的结论． 【分析】（1）由题中规律即可得到答案； （2）由题中规律即可得到答案； （3）根据上述规律，由三角形内角和定理、邻补角及角平分线的性质即可证明． 【解答】解：（1）．若，则； ．若，则； ．若，则； ， 若，则； 故答案为：； （2）由（1）中规律可知，， 故答案为：； （3）如图所示： 在中，， ，， ，即， 平分，平分， ， 在中，． 【点评】本题考查找规律，涉及三角形内角和定理、邻补角、角平分线性质等知识，读懂题意，找到规律，并灵活运用三角形内角和定理求解是解决问题的关键． 六．三角形的外角性质 29．（2023秋•寿县期末）如图，已知，，，那么　65　度． 【分析】利用外角的性质直接求得． 【解答】解：，， ． 故答案为：65． 【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解决本题的关键是找出是的外角． 30．（2023秋•合肥期末）如图，在中，是延长线上一点，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】根据三角形的外角性质计算即可． 【解答】解：是的外角， ， ，， ， 故选：． 【点评】本题考查的是三角形的外角性质，熟记三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 31．（2020秋•全椒县期中）如图在中，，分别平分，，交于，为外角的平分线，交的延长线于点，记，，则以下结论 ①，②，③，④，正确的是　①④　．（把所有正确的结论的序号写在横线上） 【分析】依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到，，． 【解答】解：为外角的平分线，平分， ，， 又是的外角， ， ，故①正确； ，分别平分，， ，， ，故②、③错误； 平分，平分， ，， ， 是的外角， ，故④正确； 故答案为：①④． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及角平分线的定义． 32．（2023秋•宁国市期末）将一副三角板如图所示放置，则图中的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】根据三角形外角的性质“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”以及对顶角相等的性质即可得到结论． 【解答】解：如图，由题意，， 由外角的性质可得：， 故选：． 【点评】本题主要考查三角形外角的性质．解题的关键是掌握三角形的外角的性质． 33．（2023秋•无为市月考）如图，，分别是两边，上的动点（均不与点重合）． （1）如图1，当时，的外角，的平分线交于点，则　61　； （2）如图2，当时，，的平分线交于点，则　　（用含的式子表示）； （3）如图3，当为定值，时，是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点．随着点，的运动，的大小会改变吗？如果不会，求出的度数（用含的式子表示）；如果会，请说明理由． 【分析】（1）根据三角形内角和定理得到，根据角平分线的定义计算即可； （2）根据三角形内角和定理得到，根据角平分线的定义计算即可； （3）根据三角形的外角性质得到，根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算即可． 【解答】解：（1）， ． ． 、分别为、的平分线， ，． ． ． 故答案为：61． （2）， ． 、分别为、的平分线， ，， ． ． 故答案为：． （3）的大小不变，． 理由如下：， 又是的平分线，是的平分线， ，， ． 【点评】本题考查的是三角形的外角性质、三角形内角和定理、角平分线的定义，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 34．（2023秋•瑶海区校级期中）如图，是的边上一点，，， 求：（1）的度数；（2）的度数． 【分析】（1）由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得，又，求出的度数； （2）根据三角形内角和定理，直接求出的度数． 【解答】解：（1）（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）且， ； （2）（三角形内角和定理），，， ． 【点评】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，在三角形中求角度的大小时，经常运用它们解题． 七．命题与定理 35．（2023秋•庐阳区校级期中）下列命题中，真命题的个数是　　 ①内错角相等； ②若函数是关于的一次函数，则的值是； ③三角形的三条高相交于同一点； ④在同一平面内，若，，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】利用平行线的性质、一次函数的定义、三角形的高线的定义及两直线的位置关系等知识分别判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：①两直线平行，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意； ②若函数是关于的一次函数，则的值是，故原命题错误，是假命题，不符合题意； ③三角形的三条高所在直线相交于同一点，故原命题错误，是假命题，不符合题意； ④在同一平面内，若，，则，正确，是真命题，符合题意． 真命题有1个， 故选：． 【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大． 36．（2022秋•蒙城县期末）命题“如果，那么”的逆命题是　如果，那么　． 【分析】根据逆命题的定义：如果两个命题中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件和结论的否定，则这两个命题称互为逆命题．直接写出答案即可． 【解答】解：命题“如果，那么”的逆命题是：如果，那么． 故答案为：如果，那么． 【点评】此题主要考查了命题与定理，关键是掌握逆命题的定义． 37．（2023秋•贵池区期末）“对顶角相等”这个命题的逆命题是 　如果两个角相等，那么它们是对顶角　． 【分析】把一个命题的题设和结论互换即可得到其逆命题． 【解答】解：“对顶角相等”的条件是：两个角是对顶角，结论是：这两个角相等，所以逆命题是：如果两个角相等，那么它们是对顶角． 故答案为：如果两个角相等，那么它们是对顶角． 【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 38．（2023秋•阜南县校级期中）写出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假： （1）两直线平行，同旁内角互补； （2）如果ab＝0，那么a＝0，b＝0． 【分析】（1）写出原命题的逆命题，结合平行线的判定和性质，即可； （2）写出原命题的逆命题，结合有理数的乘法，即可． 【解答】解：（1）两直线平行，同旁内角互补为真命题， 其逆命题为：同旁内角互补，两直线平行，此逆命题为真命题； （2）如果ab＝0，那么a＝0，b＝0为假命题， 其逆命题为：如果a＝0，b＝0，则ab＝0，此逆命题为真命题． 【点评】本题主要考查了判断命题的真假，关键是根据命题的真假判断解答． 39．（2022秋•临泉县校级期中）如图，已知：是的一个外角． （1）请从①，②平分，③中任选两个当条件，第三个当结论构成一个真命题． 条件：　①②　； 结论：　　． （2）证明你所构建的命题是真命题． 【分析】（1）选择①②当条件，③为结论，即可（答案不唯一）； （2）根据等边对等角可得，根据三角形的外角性质可得，根据角平分线的定义可得，推得，根据平行线的判定即可证明． 【解答】解：（1）选择①②当条件，③为结论； 故答案为：①②，③； （2）已知：是的一个外角，，平分， 求证：． 证明：， ， ， ， 平分， ， ， ． 即选择①②当条件，③为结论，构成真命题． 【点评】本题考查了真命题，平行线的判定，角平分线的定义，三角形的外角性质，等边对等角等，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键． 八．推理与论证 40．（2023秋•瑶海区校级月考）甲、乙、丙、丁四个人参加一个比赛，有两个人获奖．在比赛结果揭晓之前，四个人做了如下猜测： 甲：两名获奖者在乙、丙、丁中．乙：我没有获奖，丙获奖了． 丙：甲、乙两个人中有且只有一个人获奖．丁：乙说得对． 已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，则两名获奖者为　　 A．甲 丁 B．乙 丙 C．乙 丁 D．以上都不正确 【分析】本题主要抓住乙、丁的预测是一样的这一特点，则乙、丁的预测要么同时与结果相符，要么同时与结果不符．先假设乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立，可推出矛盾，故乙、丁的预测不成立，则甲、丙的预测成立，再分析可得出获奖的是乙和丁． 【解答】解：由题意，可知： 乙、丁的预测是一样的， 乙、丁的预测要么同时与结果相符，要么同时与结果不符． ①假设乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立， 根据乙、丁的预测，丙获奖，甲、丁中必有一人获奖； 这与丙的预测不成立相矛盾． 故乙、丁的预测不成立， ②乙、丁的预测不成立，则甲、丙的预测成立， 甲、丙的预测成立， 丁必获奖． 乙、丁的预测不成立，甲的预测成立， 丙不获奖，乙获奖． 从而获奖的是乙和丁． 故选：． 【点评】本题主要考查合情推理能力，主要抓住共同点及矛盾点去探索结果．本题属中档题． 学科网（北京）股份有限公司 $$