专题9.5 椭圆（讲）-2020年高考数学（理）一轮复习讲练测

专题9.5 椭圆 1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程． 2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)． 3.了解椭圆的简单应用． 4.理解数形结合的思想. 知识点一 椭圆的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 集合P＝{M|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数． ＝2a}，＋ (1)若a＞c，则集合P为椭圆； (2)若a＝c，则集合P为线段； (3)若a＜c，则集合P为空集． 知识点二 椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＝1(a＞b＞0)＋ ＝1(a＞b＞0)＋ 图形 性质 范围 －a≤x≤a， －b≤y≤b －b≤x≤b， －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0) 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 轴 长轴A1A2的长为2a，短轴B1B2的长为2b 焦距 ＝2c 离心率 e＝，　　e∈(0,1) a，b，c 的关系 c2＝a2－b2 【知识必备】 1．焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|. (1)＋＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0； (2)＋＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0； (3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)． 2．焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中 (1)当P为短轴端点时，θ最大． (2)S＝|PF1||PF2|·sin θ＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc. (3)焦点三角形的周长为2(a＋c)． 3．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝. 4．AB为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则 (1)弦长l＝|x1－x2|＝ |y1－y2|； (2)直线AB的斜率kAB＝－. 考点一 椭圆的定义及其应用 【典例1】（ 河南郑州外国语学校2019届模拟） (1)如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是(　　) A．椭圆　　　　　　　　 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 (2)已知F1，F2是椭圆C：.若△PF1F2的面积为9，则b＝__________. ⊥＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且＋ 【方法技巧】 椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求，通过整体代入可求其面积等． · 【变式1】（山东潍坊一中2019届质检）曲线＝1(k＜9)的(　　) ＋＝1与曲线＋ A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 考点二 椭圆的标准方程 【典例2】【2019年高考全国Ⅰ卷】已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点．若，，则C的方程为 A． B． C． D． 【举一反三】（江西金溪一中2019届模拟）(1)若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为(　　) A.＋y2＝1 B.＋y2＝1 C.＝1 ＋＋y2＝1或 D．以上答案都不正确 (2)一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的方程为(　　) A.＝1 ＋＝1 B.＋ C.＝1 ＋＝1 D.＋ 【方法技巧】 (1)定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程． (2)待定系数法：这种方法是求椭圆方程的常用方法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，再根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式． 【变式2】（福建泉州五中2019届模拟）已知椭圆C：，则C的方程为(　　)，过F2的直线l交C于A，B