专题9.9 圆锥曲线的综合问题（讲）-2020年高考数学（理）一轮复习讲练测

专题9.9 圆锥曲线的综合问题 1. 会判断直线与圆锥曲线的位置关系 2. 会求直线与圆锥曲线相交时的弦长 3. 求圆锥曲线的中点弦 知识点一 直线与圆锥曲线的位置关系 (1)从几何角度看，可分为三类：无公共点、仅有一个公共点以及有两个相异的公共点． (2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断．设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线方程为f(x，y)＝0. 由消元(如消去y)，得ax2＋bx＋c＝0. ①若a＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行(或重合)． ②若a≠0，设Δ＝b2－4ac. 当Δ＞0时，直线和圆锥曲线相交于不同的两点； 当Δ＝0时，直线和圆锥曲线相切于一点； 当Δ＜0时，直线和圆锥曲线没有公共点． 知识点二 直线与圆锥曲线相交时的弦长问题 (1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长： ＝＝ ＝ ＝　　. (2)斜率不存在时，可求出交点坐标，直接求解(利用坐标轴上两点间距离公式)． 知识点三 圆锥曲线的中点弦问题 遇到弦中点问题常用“点差法”或“根与系数的关系”求解． 在椭圆　.在使用根与系数的关系时，要注意使用条件是Δ≥0. 　；在抛物线y2＝2px(p>0)中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率　k＝＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝　－　；在双曲线＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝　－＋ 【知识必备】 (1)直线y＝kx＋m表示过点(0，m)且不包括垂直于x轴的直线，故设直线y＝kx＋m时，必须先讨论过点(0，m)且垂直于x轴的直线是否符合题设要求． (2)直线x＝my＋n表示过点(n,0)且不包括垂直于y轴的直线，故设直线x＝my＋n时，必须先讨论过点(n,0)且垂直于y轴的直线是否符合题设要求． 注：过y轴上一点(0，m)的直线通常设为y＝kx＋m；过x轴上一点(n,0)的直线通常设为x＝my＋n. 考点一 直线与圆锥曲线的位置关系 【典例1】（安徽蚌埠二中2019届模拟）已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C： ＋ (1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点． 【方法技巧】直线与圆锥曲线位置关系的判定方法 (1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标．联立直线与圆锥曲线的方程消元后，要注意讨论二次项系数是否为零的情况． (2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数． 【变式1】（福建师大附中2019届模拟）已知一条斜率为k(k≠0)的直线l，与椭圆＋y2＝1交于两个不同的点M，N，且M，N到点A(0，－1)的距离相等，则k的取值范围为__________． 考点二 圆锥曲线的弦长问题 【典例2】(2016·全国卷Ⅱ)已知椭圆E：＝1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k＞0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA. ＋ (1)当t＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积； (2)当2|AM|＝|AN|时，求k的取值范围． 【方法技巧】 (1)涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长． (2)涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算． (3)涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解． 【变式2】（山东潍坊二中2019届模拟）已知斜率为2的直线经过椭圆＝1的右焦点F2，与椭圆相交于A，B两点，则弦AB的长为__________． ＋ 考点三 求圆锥曲线的中点弦 【典例3】（湖北荆州中学2019届模拟） 已知椭圆E：. ，点A，B分别为椭圆E的左、右顶点，点C在E上，且△ABC面积的最大值为2＝1(a＞b＞0)的离心率为＋ (1)求椭圆E的方程； (2)设F为E的左焦点，点D在直线x＝－4上，过F作DF的垂线交椭圆E于M，N两点．证明：直线OD平分线段MN. 【方法技巧】 (1)处理有关中点弦及对应直线斜率关系的问题时，常用“点差法”，步骤如下： ①设点：设出弦的两端点坐标；②代入：代入圆锥曲线方程；③作差：两式相减，再用平方差公式把上式展开；④整理：转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解． (2)“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．由于“点差法”具有不等价性，所以在使用时要考虑判别式Δ是否为正数． 【变式3】（广东广雅中学2019届模拟）如图，已知椭圆对称，求实数m的取值