专题9.5 椭圆（讲）-2020年高考数学（文）一轮复习讲练测

专题9.5 椭圆 1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程． 2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)． 3.了解椭圆的简单应用． 4.理解数形结合的思想. 知识点一 椭圆的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 集合P＝{M|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数． ＝2a}，＋ (1)若a＞c，则集合P为椭圆； (2)若a＝c，则集合P为线段； (3)若a＜c，则集合P为空集． 知识点二 椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＝1(a＞b＞0)＋ ＝1(a＞b＞0)＋ 图形 性质 范围 －a≤x≤a， －b≤y≤b －b≤x≤b， －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0) 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 轴 长轴A1A2的长为2a，短轴B1B2的长为2b 焦距 ＝2c 离心率 e＝，　　e∈(0,1) a，b，c 的关系 c2＝a2－b2 【知识必备】 1．焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|. (1)＋＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0； (2)＋＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0； (3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)． 2．焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中 (1)当P为短轴端点时，θ最大． (2)S＝|PF1||PF2|·sin θ＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc. (3)焦点三角形的周长为2(a＋c)． 3．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝. 4．AB为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则 (1)弦长l＝|x1－x2|＝ |y1－y2|； (2)直线AB的斜率kAB＝－. 考点一 椭圆的定义及标准方程 【典例1】【2019年高考全国Ⅰ卷】已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点．若，，则C的方程为（ ） A． B． C． D． 【举一反三】（河北唐山一中2019届模拟）过点(＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为 。＋)，且与椭圆，－ 【方法技巧】 1.椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等． (2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题． 2．椭圆方程的求解方法 (1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法． (2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a＞|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)的形式． 【变式1】（山西忻州一中2019届质检）设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为 . 考点二 求椭圆离心率 【典例2】【2019年高考北京卷】已知椭圆 （a＞b＞0）的离心率为，则（ ） A．a2=2b2 B．3a2=4b2 C．a=2b D．3a=4b 【举一反三】(2018·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为(　　) ＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为＋ A. D. C. B. 【方法技巧】 (1)在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最值时，经常用到椭圆标准方程中x，y的范围、离心率的范围等不等关系． (2)求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系． (3)求椭圆离心率的方法：①直接求出a，c，从而求解e；②构造a，c的齐次式，解出e，由a，c的二元齐次方程，转化为关于e的一元二次方程求解；③通过特殊值或特殊位置，求出离心率． 【变式3】 (1