第二章 平面向量单元总结-2019-2020学年上学期高一数学同步精品课堂（人教A版必修4）

第二章 平面向量单元总结（人教A版） 一、知识整合 [自我校对] 二、能力强化 类型一：平面向量的线性运算 1.向量的加法、减法和向量数乘的综合运算通常叫作向量的线性运算. 2.向量线性运算的结果仍是一个向量.因此对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意大小、方向两个方面. 3.向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线问题、共点问题. 4.题型主要有证明三点共线、两线段平行、线段相等、求点或向量的坐标等. 例1、如图2­1，在△ABC中，点M是AB边的中点，E是中线CM的中点，AE的延长线交BC于F.MH∥AF交BC于H.求证：. ＝＝ 图2­1 【精彩点拨】　选择两不共线向量作基底，然后用基底向量表示出即可证得. 与， [再练一题] 1.如图2­2，平行四边形ABCD中，点M在AB的延长线上，且BM＝BC，求证：M，N，D三点共线. AB，点N在BC上，且BN＝ 图2­2 类型二：平面向量的数量积 平面向量的数量积是由物理问题中的做功问题引入的，向量数量积的结果是一个数量，根据定义式可知，当向量夹角为锐角、钝角和直角时，其结果分别为正值、负值和零，零向量与任何一个向量的数量积均为零.平面向量的数量积是向量的核心内容，通过向量的数量积考查向量的平行、垂直等关系，利用向量的数量积可以计算向量的夹角和长度. 例2、非零向量a，b满足(a＋b)⊥(2a－b)，(a－2b)⊥(2a＋b)，求a，b的夹角的余弦值. 【精彩点拨】　 →→ [再练一题] 2.如图2­3所示，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则＝________. · 图2­3 类型三：向量的坐标运算 1.向量的坐标表示实际上是向量的代数表示.引入向量的坐标表示后，向量的运算完全化为代数运算，实现数与形的统一. 2.向量的坐标运算是将几何问题代数化的有力工具，它是转化思想、函数与方程、分类讨论、数形结合等思想方法的具体体现. 3.通过向量坐标运算主要解决求向量的坐标、向量的模、夹角判断共线、平行、垂直等问题. 例3、已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4). (1)求证：AB⊥AD； (2)若四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值. 【精彩点拨】　(1)证明＝0. · (2)利用求点C的坐标，利用坐标形式的夹角公式求两对角线所夹锐角的余弦值. ＝ [再练一题] 3.设a＝(1,2)，b＝(－2，－3)，又c＝2a＋b，d＝a＋mb，若c与d的夹角为45°，求实数m的值. 类型四：平面向量的应用 1.向量在平面几何中的应用，向量的加减运算遵循平行四边形法则或三角形法则，数乘运算和线段平行之间、数量积运算和垂直、夹角、距离问题之间联系密切，因此用向量方法可以解决平面几何中的相关问题. 2.向量在解析几何中的应用，主要利用向量平行与垂直的坐标条件求直线的方程. 3.在物理中的应用，主要解决力向量、速度向量等问题. 例4、如图2­4所示，P是正方形ABCD的对角线BD上一点，四边形PECF是矩形，求证： 图2­4 (1)PA＝EF； (2)PA⊥EF. 【精彩点拨】　可分别以BC，BA所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系后，用坐标法来证明. [再练一题] 4.已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4). (1)求证：AB⊥AD； (2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD的两对角线所夹的锐角的余弦值. 类型五：数形结合思想 平面向量的线性运算和数量积运算的定义及运算法则、运算律的推导中都渗透了数形结合思想.向量的坐标表示的引入，使向量运算完全代数化，将数和形紧密地结合在一起.运用数形结合思想可解决三点共线，两条线段(或射线、直线)平行、垂直，夹角、距离、面积等问题. 例5、如图2­5所示，以△ABC的两边AB，AC为边向外作正方形ABGF，ACDE，M为BC的中点，求证：AM⊥EF. 图2­5 【精彩点拨】　要证AM⊥EF，只需证明＝0. ·表示，然后通过向量运算得出，用表示，将，用＝0.先将· [再练一题] 5.如图2­6，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时，的坐标为________. 图2­6 三、真题检测 1.已知向量，则∠ABC＝(　　) ＝，＝ A.30°　　　　　　　　 B.45° C.60° D.120° 2.已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝(　　) A.－8　　 B.－6　　　 C.6　　 D.8 3.已知非零向量m，n满足4|m|＝