北师大版九年级上册数学教案：1.2矩形的性质与判定 (4份打包)

1．2　矩形的性质与判定 第1课时　矩形的性质 1．掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系；(重点)[来源:Z_xx_k.Com] 2．会运用矩形的概念和性质来解决有关问题．(难点) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、情景导入 1．展示生活中一些平行四边形的实际应用图片(推拉门、活动衣架、篱笆、井架等)，想一想：这里面应用了平行四边形的什么性质？ 2．思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？为什么？(动画演示拉动过程如图) 3．再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形(小学学过的长方形)，引出本课题及矩形定义． 矩形是我们最常见的图形之一，例如书桌面、教科书的封面等都是矩形． 有一个角是直角的平行四边形是矩形．矩形是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形，矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质． 二、合作探究 探究点一：矩形的性质 【类型一】 矩形的四个角都是直角[来源:Zxxk.Com] 如图，矩形ABCD中，点E在BC上，且AE平分∠BAC.若BE＝4，AC＝15，则△AEC的面积为(　　) A．15 B．30 C．45 D．60 解析：如图，过E作EF⊥AC，垂足为F. ∵AE平分∠BAC，EF⊥AC，BE⊥AB， ∴EF＝BE＝4， ∴S△AEC＝×15×4＝30.故选B. AC·EF＝ 方法总结：矩形的四个角都是直角，常作为证明或求值的隐含条件． 【类型二】 矩形的对角线相等 如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝60°，AD＝2，则AC的长是(　　) A．2 B．4 C．2 D．4 解析：根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC＝OD＝OA＝AC，由∠AOD＝60°得△AOD为等边三角形，即可求出AC的长． ∵四边形ABCD为矩形， ∴AC＝BD，OA＝OC＝BD， AC，OD＝OB＝ ∴OA＝OD.∵∠AOD＝60°， ∴△AOD为等边三角形， ∴OA＝OD＝2，∴AC＝2OA＝4. 故选B. 方法总结：矩形的两条对角线互相平分且相等，即对角线把矩形分成四个等腰三角形，当两条对角线的夹角为60°或120°时，图中有等边三角形，从而可以利用等边三角形的性质解题． 探究点二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 如图，已知BD，CE是△ABC不同边上的高，点G，F分别是BC，DE的中点，试说明GF⊥DE. 解析：本题的已知条件中已经有直角三角形，有斜边上的中点，由此可联想到应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一定理． 解：连接EG，DG. ∵BD，CE是△ABC的高， ∴∠BDC＝∠BEC＝90°. ∵点G是BC的中点， ∴EG＝BC. BC，DG＝ ∴EG＝DG. 又∵点F是DE的中点， ∴GF⊥DE. 方法总结：在直角三角形中，遇到斜边中点常作斜边中线，进而可将问题转化为等腰三角形的问题，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质解题． 探究点三：矩形的性质的应用 【类型一】 利用矩形的性质求有关线段的长度 如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF＝EC，DE＝4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长． 解析：先判定△AEF≌△DCE，得CD＝AE，再根据矩形的周长为32列方程求出AE的长． 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠D＝90°， ∴∠CED＋∠ECD＝90°.[来源:Z。xx。k.Com] 又∵EF⊥EC， ∴∠AEF＋∠CED＝90°， ∴∠AEF＝∠ECD. 而EF＝EC， ∴△AEF≌△DCE， ∴AE＝CD. 设AE＝xcm， ∴CD＝xcm，AD＝(x＋4)cm， 则有x＋4＋x＝16，解得x＝6. 即AE的长为6cm. 方法总结：矩形的各角为直角，常作为全等的一个条件用来证三角形全等，可借助直角的条件解决直角三角形中的问题． 【类型二】 利用矩形的性质求有关角度的大小 如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠DAE：∠BAE＝3：1，求∠BAE和∠EAO的度数． 解析：由∠BAE与∠DAE之和为90°及这两个角之比可求得这两个角的度数，从而得∠ABO的度数，再根据矩形的性质易得∠EAO的度数． 解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°， AO＝BD，AC＝BD， AC，BO＝ ∴∠BAE＋∠DAE＝90°，AO＝BO. 又∵∠DAE：∠BAE＝3：1， ∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°. ∵AE⊥BD， ∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°， ∴∠OAB＝∠ABE＝67.5° ∴∠EAO＝67.5°－22.5°＝45°. 方法总结：矩形的性质