1.2矩形的性质与判定第3课时（教学设计）数学北师大版九年级上册

1.2 矩形的性质与判定（第3课时） 教学设计 1.教学内容 本节课是北师大版九年级上册数学第一章《特殊平行四边形》第二节“矩形的性质与判定”第3课时，内容包括：矩形性质与判定定理的综合运用。 2.内容解析 ​矩形作为特殊的平行四边形，是平面几何中的重要图形，本节课是在学生学习了平行四边形的性质与判定、矩形的定义、性质及判定定理的基础上，对矩形相关知识的综合运用和深化。它既是对前面所学知识的巩固和延伸，也为后续学习正方形的性质与判定奠定了坚实的基础，在整个初中几何知识体系中起着承上启下的重要作用。此外，本节课涉及的直角三角形、等腰三角形等知识，也与前面所学的三角形相关内容紧密相连，是对三角形知识的进一步应用。 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：进一步理解矩形的性质及判定，并能灵活运用矩形的性质和判定进行相关的计算和证明。 1.教学目标 （1）通过对矩形性质与判定定理的综合运用练习，能熟练进行相关计算和证明，准确区分性质与判定的适用场景，发展逻辑推理素养和运算能力。​ （2）通过分析具体问题中矩形与其他图形的关联，能运用转化思想构造辅助图形解决复杂问题，发展直观想象素养和数学建模能力。​ （3）通过小组讨论探究矩形知识在实际情境中的应用，能清晰表达解题思路并合作完成探究任务，发展数学抽象素养和合作交流能力。​ （4）通过经历从生活问题抽象出矩形模型并解决的过程，能体会数学与生活的联系，形成严谨的推理习惯，发展数学应用意识和科学探究精神。 2.目标解析 （1）学生完成相关练习后，能够在面对矩形相关的计算和证明题时，快速且准确地调用矩形的性质定理（如四个角为直角、对角线相等且互相平分等）和判定定理（如一个角是直角的平行四边形是矩形等），清晰分辨在不同题目情境下该使用性质还是判定，计算结果准确无误，证明过程逻辑严密，充分展现出较强的逻辑推理能力和运算能力。​ （2）当遇到涉及矩形与其他图形（如三角形、平行四边形等）结合的复杂问题时，学生能主动运用转化思想，通过构造辅助线等方式将复杂图形拆解或转化为可利用矩形知识解决的简单图形，准确找到解题突破口，顺利完成问题解答，直观想象能力和数学建模能力得到显著体现。​ （3）在小组讨论探究实际情境中的矩形问题时，学生能够清晰、有条理地表达自己的解题思路和想法，积极与小组成员交流合作，主动倾听和借鉴他人观点，共同攻克探究任务，在交流与合作中展现出良好的数学抽象能力和合作交流能力。​ （4）学生在面对生活中的矩形相关问题时，能迅速从实际情境中抽象出矩形模型，运用所学知识解决问题，深刻体会到数学在生活中的广泛应用，在解题过程中保持严谨的推理习惯，主动探究解决问题的不同方法，科学探究精神和数学应用意识得到有效发展。 学生在本节课前已掌握平行四边形的性质与判定，理解矩形的定义、核心性质（如四个角为直角、对角线相等且互相平分）和判定方法，具备初步逻辑推理能力及三角形相关知识储备，但在学习中可能面临综合运用矩形性质与判定时易混淆、难以快速判断适用内容，处理综合性题目时难以提取关键信息且无法将矩形知识与其他图形知识有效结合、缺乏知识迁移能力，几何证明过程不规范，以及构造辅助线解决问题的意识和能力不足等困难。几何证明过程不规范，存在推理不严谨、步骤跳跃或遗漏等问题，对证明的逻辑链条把握不准确。​ 1.针对性质与判定混淆的问题，可通过对比教学，列出矩形性质与判定的表格，明确两者的区别与联系，结合具体例题，强调性质是在已知图形为矩形的前提下得出结论，而判定是用来证明图形为矩形，让学生在实际应用中加深理解。​ 2.对于综合性题目处理困难，可采用分层教学法，将复杂题目分解为多个简单小问题，逐步引导学生分析每个小问题与矩形知识的关联，同时通过典型例题的讲解，示范如何将不同图形知识融合运用，培养学生的知识迁移能力。​ 3.为规范几何证明过程，教师在例题讲解时要注重展示完整、规范的证明步骤，强调每一步推理的依据，让学生模仿练习，同时让学生之间相互检查证明过程，指出不规范之处，共同纠正。​ 4.关于构造辅助线，可专门收集需要添加辅助线的矩形相关题目，引导学生分析添加辅助线的原因和方法，总结常见辅助线的构造类型（如连接对角线），通过专题练习，增强学生构造辅助线的意识和能力。 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：应用矩形的性质和判定解决综合问题。 1.复习回顾 教师在黑板上画出一个平行四边形，提问：“这是什么图形？它有哪些性质？” 待学生回答后，在平行四边形的一个角上标注直角，继续提问：“现在它变成了什么图形？矩形的定义是什么？”​ 让学生以小组为单位，在 2 分钟内列举矩形的性质和判定方法，每组派一名代表发言，其他小组进行补充。 教师根据学生的回答，用思维导图的形式在黑板上梳理矩形的性质（边、角、对角线、对称性）和判定方法。 （设计意图：通过从平行四边形过渡到矩形的提问，帮助学生建立知识之间的联系，回顾矩形的定义。小组列举性质和判定方法，能激发学生的参与度，思维导图的梳理则能让知识体系更清晰，为新课的学习做好知识铺垫。） （教学建议：在学生列举性质和判定方法时，教师要注意引导学生全面、准确地表述，对于易混淆的内容（如矩形与平行四边形性质的异同）要重点强调。同时，要控制好时间，确保复习回顾高效完成。） 2.情景引入 教师展示一个实际生活中的问题情境：​ 学校要修建一个矩形花坛，工人师傅已经测量出花坛的两条相邻边的长度分别为 3 米和 4 米，对角线的长度为 5 米，你能帮助工人师傅判断这个花坛是否为矩形吗？​ 引导学生思考如何利用所学的矩形知识来解决这个问题，激发学生的学习兴趣和探究欲望，从而引入本节课的主题 —— 矩形的性质与判定的运用。 （设计意图：选取生活中的实际问题，能让学生感受到数学与生活的密切联系，提高学生的学习兴趣和参与度。通过让学生尝试解决问题，激发其探究欲望，自然地引入本节课的主题，使学生明确本节课的学习目标和意义。） （教学建议：在呈现问题情境时，可以配合图片或实物模型，让学生更直观地理解问题。引导学生思考时，不要直接给出答案，而是鼓励学生积极发言，分享自己的想法，即使学生的思路不正确，也要给予肯定和引导，保护学生的积极性。） 探究点　矩形性质与判定的综合应用 例1 如图，在矩形ABCD中，AD＝6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED＝3BE.求AE的长. （教师引导，学生分析） 由在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，BE∶ED＝1∶3，可证得△OAB是等边三角形，继而求得∠ABD的度数，进而求出∠ADE的度数.又由AD＝6，即可求得AE的长. 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=90°(矩形的四个角都是直角)， AC=BD(矩形的对角线相等)， AO=CO=AC, BO=DO=BD(矩形的对角线互相平分). ∴AO=BO=BD. ∵ED=3BE， ∴BE=OE， 又∵AE⊥BD， ∴AB=AO， ∴AB=AO=BO， 即 △ABO是等边三角形， ∴∠ABO=60°， ∴∠ADB=90°-∠ABO=90°-60°=30°, ∴AE=AD=×6=3. 【点评】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质.难度不大，注意掌握数形结合思想的应用. 练一练 1.如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，AB＝6，OA＝5，则BD＝ 10 ，AD＝ 8 . 例2 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，AN是△ABC的外角平分线，CE⊥AN，垂足为点E. 求证：四边形ADCE为矩形. （教师引导，学生分析） 由在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，可得AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD.又由AN为△ABC的外角平分线，可得∠DAE＝90°.又由CE⊥AN，即可证得四边形ADCE为矩形. 证明：∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM， ∴∠CAD=∠BAC，∠CAN=∠CAM. ∴∠DAE=∠CAD+∠CAN =（∠BAC+∠CAM） =×180°=90°. 在△ABC中，∵AB=AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC. ∴∠ADC=90°. 又∵CE⊥AN， ∴∠CEA=90°， ∴四边形ADCE是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形). 【点评】此题考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的三线合一.此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用. 练一练 2.下列说法中，不正确的是（ A ） A．有一个角是直角的四边形是矩形 B．有一组邻角相等的平行四边形是矩形 C．有一组对角互补的平行四边形是矩形 D．有三个角是直角的四边形是矩形 （设计意图：例题讲解是本节课的核心环节，通过例 1 和例 2 的设置，涵盖了矩形性质和判定的不同运用场景。例 1 主要考查矩形性质的综合运用，例 2 则侧重于矩形判定定理的应用。在讲解过程中，引导学生分析题目条件、尝试解题、评价和总结，能培养学生的逻辑推理能力和解题能力，让学生掌握规范的解题步骤和方法。） （教学建议：在例题讲解前，要确保学生已经理解题目中的图形和条件，对于较复杂的图形，可以引导学生进行分解或标注关键信息。引导学生分析条件时，要注重启发式教学，让学生自主发现条件之间的联系和可以运用的定理。让学生尝试解题时，教师要巡视指导，关注学习有困难的学生，给予及时的帮助。在评价学生的解题过程时，要引导学生从思路的正确性、步骤的完整性和规范性等方面进行评价，培养学生的批判性思维。） 想一想： 在上述例2中，连接DE，交AC于点F（如图）． 求证：四边形ADCE为矩形； （1）试判断四边形ABDE的形状，并证明你的结论； （2）线段DF与AB有怎样的关系？请证明你的结论. 第（1）题：（教师引导，学生分析） 利用矩形的对角线相等推知AC＝DE，结合已知条件可以推知AB＝DE，AE＝BD，则可判定四边形ABDE是平行四边形. 解：（1）四边形ABDE是平行四边形.证明如下： 由例2知，四边形ADCE为矩形， 则AE＝CD，AC＝DE. 又∵ AB＝AC，BD＝CD， ∴ AB＝DE，AE＝BD， ∴ 四边形ABDE是平行四边形. 第（2）题：（教师引导，学生分析） 由四边形ADCE为矩形，可得AF＝CF.又由AD是BC边的中线，即可得DF是△ABC的中位线，则可得DF∥AB，DF＝AB. 解：（2）DF∥AB，DF＝AB.证明如下： ∵ 四边形ADCE为矩形， ∴ AF＝CF. ∵ BD＝CD， ∴ DF是△ABC的中位线， ∴ DF∥AB，DF＝AB. （设计意图：思考探究环节是在例题基础上的拓展和延伸，旨在培养学生的探究精神和创新思维。通过对四边形形状的判断和线段关系的探究，让学生进一步巩固矩形的性质和判定知识，同时综合运用平行四边形等相关知识，提高学生的知识综合运用能力和逻辑推理能力。） （教学建议：在思考探究过程中，要给予学生充分的思考和讨论时间，鼓励学生大胆猜想和尝试。教师的引导要适度，不要直接给出答案，而是引导学生自主探索。对于学生的不同思路和方法，要给予肯定和鼓励，尊重学生的个性思维。在展示和评价学生的证明过程时，要重点关注学生的思维过程和证明的逻辑性，对于存在的问题要及时纠正。） 典例分析 【例1】如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD.连接BF. (1)BD与DC有什么数量关系？请说明理由. (2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？请说明理由. 第（1）题：（教师引导，学生分析） 根据“两直线平行，内错角相等”得出∠AFE＝∠DCE，然后利用“AAS”证明△AEF和△DEC全等.根据“全等三角形的对应边相等”可得AF＝CD，再利用等量代换即可得BD＝DC. 解：BD＝CD.理由如下： ∵ AF∥BC， ∴ ∠AFE＝∠DCE. ∵ E是AD的中点， ∴ AE＝DE. 又∵ ∠AEF＝∠DEC， ∴ △AEF≌△DEC(AAS)， ∴ AF＝DC. ∵ AF＝BD， ∴ BD＝DC. 第（2）题：（教师引导，学生分析） 先利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形AFBD是平行四边形，再根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”证明四边形AFBD是矩形，所以∠ADB＝90°.由等腰三角形三线合一的性质可知△ABC满足的条件是AB＝AC. 解：当△ABC满足AB＝AC时，四边形AFBD是矩形.理由如下： ∵ AF∥BD，AF＝BD， ∴ 四边形AFBD是平行四边形. ∵ AB＝AC，BD＝DC， ∴ ∠ADB＝90°， ∴ 四边形AFBD是矩形. 【点评】本题综合考查了矩形和全等三角形的判定方法，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键. 【例2】如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D'处，则重叠部分△AFC的面积为（　C　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 解析：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD， ∴∠DCA＝∠BAC. 由折叠的性质可知，∠DCA＝∠D'CA， ∴∠CAF＝∠D'CA， ∴FA＝FC. 在Rt△BFC中，BF2＋BC2＝CF2，即（8－AF）2＋42＝AF2， 解得AF＝5，则△AFC的面积为AF·BC＝×5×4＝10. （设计意图：通过典型例题，帮助学生掌握运用矩形判定定理解决实际问题的方法，提高学生分析和解决问题的能力，强化对定理的理解与运用。） （教学建议：先让学生独立思考，尝试解题；教师巡视了解学生思路，适时引导；讲解时注重分析解题思路和方法，强调规范答题格式。） 1.如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1，S2，则(　 　) A.S1＞S2　　　　　　　B.S1＝S2 C.S1＜S2 D.3S1＝2S2 2.如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，AH⊥BC于点H，连接EH，若DF＝10 cm，则EH等于(　　) A.8 cm　 B.10 cm　　C.16 cm 　　D.24 cm 3.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°，则∠BOE＝ °. 4.如图，矩形ABCD中，AB＝1，E，F分别为AD，CD的中点，沿BE将△ABE折叠，若点A恰好落在BF上，则AD＝ . 5.如图，点D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC. (1)求证：CD＝AN； (2)若∠AMD＝2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形. 　 6.如图，菱形ABCD的对角线交于点O，BE∥AC，AE∥BD，EO与AB交于点F. （1）求证：四边形AEBO是矩形； （2）若OE＝10，AE＝8，求菱形ABCD的面积. 参考答案 1.B　2.B 3.75 4. 5.证明：(1)∵ AD∥CN, ∴ ∠ADM＝∠CNM,∠DAM＝∠NCM. 又∵ AM＝ CM， ∴ △AMD≌△CMN， ∴ AD＝CN. 又∵ AD∥CN， ∴ 四边形ADCN是平行四边形， ∴ CD＝AN. （2）∵ ∠AMD＝2∠MCD，∠AMD＝∠MCD＋∠MDC， ∴ ∠MCD＝∠MDC， ∴ MD＝MC. 由(1)知四边形ADCN是平行四边形， ∴ MD＝MN＝MA＝MC， ∴ AC＝DN， ∴四边形ADCN是矩形.　 6.（1）证明：∵BE∥AC，AE∥BD， ∴四边形AOBE是平行四边形. ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴平行四边形AOBE是矩形. （2）∵四边形AOBE是矩形， ∴BO＝AE＝8，∠EAO＝90°， ∴AO＝＝ ＝6. ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC＝2AO＝12，BD＝2BO＝16， ∴菱形ABCD的面积为 AC·BD＝ ×12×16＝96. （设计意图：练习题的设计要涵盖不同的知识点和题型，既有证明题，又有计算题，能全面考查学生对矩形性质和判定的运用能力。通过学生独立完成、同桌互改和教师点评，能及时发现学生的问题并进行纠正，让学生在实践中不断提高解题能力。） （教学建议：练习题的难度要适中，既有基础题，又有一定的提高题，以满足不同层次学生的需求。在学生做题过程中，教师要巡视观察，对于学生普遍存在的问题，要及时进行集体讲解；对于个别学生的问题，要进行个别辅导。教师的点评要突出重点，针对学生容易出错的地方进行强调和讲解，帮助学生总结解题经验。） (设计意图：课堂小结能帮助学生梳理本节课所学的知识，形成知识体系，加深对重点内容的理解和记忆。通过引导学生回顾学习过程中体会到的数学思想方法，能提升学生的数学素养，培养其运用数学思想解决问题的能力。) （教学建议：在课堂小结时，要鼓励学生主动发言，分享自己的学习收获和体会，教师不要包办代替。对于学生的回答，要给予肯定和补充，确保小结的全面性和准确性。可以采用思维导图等形式帮助学生梳理知识体系，让学生更直观地理解知识之间的联系。） 1.必做题：习题1.6第1-3题。 2.探究性作业：习题1.6第4-5题。 （设计意图：通过分层作业，巩固知识，拓展思维，满足不同学生的学习需求。)​ （教学建议：批改作业时认真记录学生问题，为后续教学提供参考；对选做题优秀答案进行展示和表扬.） 1.2矩形的性质与判定第3课时 1.矩形性质的应用 2.矩形判定的应用 3. 例题区：（学生板演区域） 本节课通过生活实例导入，以例题探究为核心，引导学生运用矩形性质与判定解决问题，多数学生能掌握基础应用，但部分学生在综合题中存在性质与判定混淆、推理不严谨的问题。小组讨论虽活跃了课堂，却也出现个别学生参与度低的情况。后续需加强分层指导，设计更具梯度的练习，强化推理过程的规范训练，同时关注全体学生，提升课堂参与的有效性。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$