专题60 椭圆的方程-2020年江苏省高考数学考点探究

专题60　椭圆的方程 专题知识梳理 1．椭圆的定义 在平面内到两定点F1、F2的距离的和为常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 集合P＝{M(x，y)|＋||＝2a}， ||＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数： (1)若a>c，则集合P表示椭圆； (2)若a＝c，则集合P表示线段； (3)若a<c，则集合P为空集． 2．椭圆的标准方程 (1)中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)； (2)中心在原点，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)． 3．点P(x0，y0)和椭圆的关系 (1)P(x0，y0)在椭圆内⇔＋<1； (2)P(x0，y0)在椭圆上⇔＋＝1； (3)P(x0，y0)在椭圆外⇔＋>1． 考点探究 考向1　椭圆的定义及其应用 【例】已知圆F1：(x＋1)2＋y2＝16，定点F2(1，0)，动圆M过点F2，且与圆F1相内切，那么点M的轨迹C的方程为____． 题组训练 1.如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是____． 2.已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝3，则b＝____． 3.已知椭圆＋＝1上一点P到椭圆右焦点的距离为6，则P到左焦点的距离为____． 4.已知椭圆＋＝1，长轴在y轴上，若焦距为4，则实数a的值为____． 考向2　椭圆的标准方程 【例】过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆标准方程为___． 题组训练 1.已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A(3，0)，并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程． 2.在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，椭圆上动点到一个焦点的距离的最小值为．求椭圆C的标准方程． 3.设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N. (1)若直线MN的斜率为，求C的离心率； (2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求椭圆的标准方程． 4.已知椭圆G的中心在原点，离心率为，若椭圆G上一点到它的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的标准方程为____． 5.椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是，求这个椭圆的方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 $$ 专题60　椭圆的方程 专题知识梳理 1．椭圆的定义 在平面内到两定点F1、F2的距离的和为常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 集合P＝{M(x，y)|＋||＝2a}， ||＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数： (1)若a>c，则集合P表示椭圆； (2)若a＝c，则集合P表示线段； (3)若a<c，则集合P为空集． 2．椭圆的标准方程 (1)中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)； (2)中心在原点，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)． 3．点P(x0，y0)和椭圆的关系 (1)P(x0，y0)在椭圆内⇔＋<1； (2)P(x0，y0)在椭圆上⇔＋＝1； (3)P(x0，y0)在椭圆外⇔＋>1． 考点探究 考向1　椭圆的定义及其应用 【例】已知圆F1：(x＋1)2＋y2＝16，定点F2(1，0)，动圆M过点F2，且与圆F1相内切，那么点M的轨迹C的方程为____． 【解析】设圆M的半径为r.因为圆M与圆F1相内切，所以|MF1|＝4－r.因为圆M过点F2，所以|MF2|＝r，所以|MF1|＝4－|MF2|，即|MF1|＋|MF2|＝4，所以点M的轨迹C是以F1，F2为焦点的椭圆，设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，则有2a＝4，c＝1，所以a＝2，b＝，所以轨迹C的方程为＋＝1. 题组训练 1.如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是____． 【解析】　(1)连结QA.由已知得|QA|＝|QP|.所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.又因为点A在圆内，所以，|OA|＜|OP|，根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆． 2.已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝3，则b＝____． 【解析】　由题意得|PF1|＋|PF2|＝2a，又∠F1PF2＝60°，所以