专题61 椭圆的几何性质-2020年江苏省高考数学考点探究

专题61　椭圆的几何性质 专题知识梳理 1．椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 对称性 既是轴对称图形又是中心对称图形. 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(0，－b)，B2(0，b) B1(－b，0)，B2(b，0) 轴 长轴A1A2的长为2a，短轴B1B2的长为2b 焦距 F1F2＝2c 离心率 e＝∈(0，1) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 准线方程 x＝± y＝± 2.直线与椭圆的位置关系的判断 将直线方程与椭圆方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)． 可考虑一元二次方程的判别式Δ，有： ①Δ>0⇔直线与椭圆相交； ②Δ＝0⇔直线与椭圆相切； ③Δ＜0⇔直线与椭圆相离． 3．设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(k为直线斜率)或(k为直线斜率)． 考点探究 考向1　求椭圆离心率的值 【例】(1)如图，已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF2与圆x2＋y2＝b2相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，则椭圆C的离心率为____． (2)已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为____． 题组训练 1.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B1，B2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右、下、上顶点，F是椭圆C的右焦点．若B2F⊥AB1，则椭圆C的离心率是____． 2.过椭圆＋＝1(a>b>0)的左顶点A且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M，与y轴的交点为B，若AM＝MB，则该椭圆的离心率为____． 3.已知椭圆C：＋＝1，(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为____． 4.以等腰直角△ABC的两个顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为________． 5.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，左焦点为F，上顶点为B，若∠BAO＋∠BFO＝90°，则椭圆的离心率是____． 考向2　椭圆离心率的取值范围 【例】 (1)已知F1(－c，0)，F2(c，0)为椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆上一点，且·＝c2，则此椭圆离心率e的取值范围是____． (2)设F1，F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝120°，则椭圆离心率e的取值范围是____． 题组训练 1.已知椭圆＋＝1(a＞b＞c＞0，a2＝b2＋c2)的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，b－c为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于(a－c)，则椭圆离心率e的取值范围是____． 2.已知椭圆C：＋＝1和圆O：x2＋y2＝b2，若C上存在点P，使得过点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B，满足∠APB＝60°，则椭圆C的离心率的取值范围是____． 3.若椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是____. 考向3　直线与椭圆的位置关系 【例】（2018·江苏卷）如图，在平面直角坐标系中，椭圆C过点，焦点，圆O的直径为． （1）求椭圆C及圆O的方程； （2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P． ①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标； ②直线l与椭圆C交于两点．若的面积为，求直线l的方程． 题组训练 1.（2017南通三模）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左焦点为，且经过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知椭圆的弦过点F，且与轴不垂直． 若D为轴上的一点，，求的值． 2.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且过点(1，)．过椭圆C的左顶点A作直线交椭圆C于另一点P，交直线l：x＝m(m＞a)于点M.已知点B(1，0)，直线PB交l于点N. (1)求椭圆C的方程； (2)若MB是线段PN的垂直平分线，求实数m的值． 3.（2018苏北四市一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且过点.为椭圆的右焦点，为椭圆上关于原点