专题19 解析几何解题技巧—定点定值，投机取巧-名师揭秘2020年高考数学一轮总复习之解析几何（文理通用）

专题19解析几何解题技巧—定点定值，投机取巧 一．【学习目标】 1.掌握圆锥曲线的定义； 2．掌握焦点三角形的应用和几何意义； 3.掌握圆锥曲线方程的求法； 4.掌握直线与圆锥曲线的位置关系； 5.熟练掌握定点、定值、最值和范围问题。 二．【知识点总结】 1.椭圆定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于之间的距离)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 2．椭圆的标准方程 (1) ，焦点，其中． (2) ，焦点，其中 3．椭圆的几何性质以为例 (1)范围：． (2)对称性：对称轴：轴，轴；对称中心： (3)顶点：长轴端点：，短轴端点：；长轴长，短轴长，焦距. (4)离心率越大，椭圆越扁，越小，椭圆越圆． (5) 的关系：. 4．双曲线的定义： 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数(小于之间的距离)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 5．双曲线的标准方程 (1) ，焦点，其中． (2) ，焦点，其中 6．双曲线的几何性质以为例 (1)范围：． (2)对称性：对称轴：轴，轴；对称中心： (3)顶点：实轴端点：，虚轴端点：；实轴长，虚轴长，焦距. (4)离心率 (5) 渐近线方程. 7．抛物线的定义： 平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，直线叫抛物线的准线. 8．抛物线的标准方程 (1) ．对应的焦点分别为： . (2)离心率. 三．【题型归纳】 （一）对称与定点 （二）由两点得到定直线 （三）存在性与定点 （四）由直线得定点 （五）线段定值问题 （六）斜率与定值 四．【题型方法】 （一）对称与定点 例1．已知抛物线 过点 ( 为非零常数)与 轴不垂直的直线 与C交于 两点. (1)求证: ( 是坐标原点)； (2)AB的垂直平分线与 轴交于 ，求实数 的取值范围； (3)设A关于 轴的对称点为D,求证:直线BD过定点,并求出定点的坐标. 练习1.抛物线的焦点为F，过F的直线交抛物线于A、B两点． Ⅰ若点，且直线AT，BT的斜率分别为，，求证：为定值； Ⅱ设A、B两点在抛物线的准线上的射影分别为P、Q，线段PQ的中点为R，求证：． （二）由两点得到定直线 例2．已知点 ， 的两顶点 ，且点 满足 （1）求动点 的轨迹方程； （2）设 ，求动点 的轨迹方程； （3）过点 的动直线 与曲线 交于不同两点 ，过点 作 轴垂线 ，试判断直线 与直线 的交点是否恒在一条定直线上？若是，求该定直线的方程，否则，说明理由． 练习1. 练习．已知点 是抛物线 的焦点，若点 在抛物线 上，且 求抛物线 的方程； 动直线 与抛物线 相交于 两点，问：在 轴上是否存在定点 其中 ，使得向量 与向量 共线 其中 为坐标原点 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． （三）存在性与定点 例3．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于两点，延长交椭圆于点，的周长为8. （1）求的离心率及方程； （2）试问：是否存在定点，使得为定值？若存在，求；若不存在，请说明理由. （四）由直线得定点 例4．如图，已知顶点，，动点分别在轴，轴上移动，延长至点，使得，且. （1）求动点的轨迹； （2）过点分别作直线交曲线于两点，若直线的倾斜角互补，证明：直线的斜率为定值； （3）过点分别作直线交曲线于两点，若，直线是否经过定点？若是，求出该定点，若不是，说明理由. 练习1. 已知抛物线 的焦点为 ， 为坐标原点， 是抛物线 上异于 的两点． （1）求抛物线 的方程； （2）若直线 的斜率之积为 ，求证：直线 过定点． 练习2. 已知椭圆C： 的离心率为 ，焦距为 ，A，B分别为椭圆C的上、下顶点，点M（t，2）（t≠0）． （1）求椭圆C的方程； （2）若直线MA，MB与椭圆C的另一交点分别为P，Q，证明PQ过定点 ． （五）线段定值问题 例5．平面直角坐标系 中，已知椭圆 的离心率为 ，左、右焦点分别是 ，以 为圆心以3为半径的圆与以 为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆 上. （1）求椭圆 的方程； （2）过椭圆 上一动点 的直线 ，过F2与x轴垂直的直线记为 ，右准线记为 ； ①设直线 与直线 相交于点M，直线 与直线 相交于点N，证明 恒为定值，并求此定值。 ②若连接 并延长与直线 相交于点Q，椭圆 的右顶点A，设直线PA的斜率为 ，直线QA的斜率为 ，求 的取值范围． （六）斜率与定值 例6．已知抛物线 ： （ ），过点 的直线 与抛物线 相交于 ， 两点， 为坐标原点，且 . （1）求抛物线 的方程； （2）点 坐标为 ，直线 ， 的斜率分别 ， ，求证： 为定值. 练习1.已知椭圆 ，倾斜角为 的直线与椭圆相交