专题50 椭圆及其性质-2020年领军高考数学一轮复习（文理通用）

专题50椭圆及其性质 最新考纲 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 基础知识融会贯通 1．椭圆的概念 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数： (1)若a>c，则集合P为椭圆； (2)若a＝c，则集合P为线段； (3)若a<c，则集合P为空集． 2．椭圆的标准方程和几何性质 【知识拓展】 点P(x0，y0)和椭圆的位置关系 (1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔<1.＋ (2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔＝1.＋ (3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔>1.＋ 重点难点突破 【题型一】椭圆的定义及应用 【典型例题】 如图，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是（　　） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 【再练一题】 已知F1（﹣3，0），F2（3，0），动点M满足|MF1|+|MF2|＝5，则点M的轨迹是（　　） A．双曲线 B．椭圆 C．线段 D．不存在 思维升华　椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等． (2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题． 【题型二】椭圆的标准方程 命题点1　利用定义法求椭圆的标准方程 【典型例题】 已知椭圆的焦点F1（﹣1，0），F2（1，0），P是椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|，|PF2|等差中项，则椭圆的方程是（　　） A．1 B．1 C．1 D．1 【再练一题】 已知某椭圆的焦点是F1（﹣4，0）、F2（4，0），过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|+|F2B|＝10，椭圆上不同的两点A（x1，y1）、C（x2，y2）满足条件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列． （Ⅰ）求该椭圆的方程； （Ⅱ）求弦AC中点的横坐标． 命题点2　利用待定系数法求椭圆方程 【典型例题】 椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程为（　　） A．1 B．1 C．1或1 D．1或1 【再练一题】 已知抛物线y2＝4x的焦点F与椭圆C：1（a＞b＞0）的一个焦点重合，且点F关于直线y＝x的对称点在椭圆上． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点Q（0，）且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M点的坐标，若不存在，说明理由． 思维升华 (1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法． (2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a>|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式． 【题型三】椭圆的几何性质 【典型例题】 已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆上异于长轴端点的一点，△MF1F2的内心为I，直线MI交x轴于点E，若，则椭圆C的离心率是（　　） A． B． C． D． 【再练一题】 已知AB是椭圆的长轴，若把线段AB五等份，过每个分点作AB的垂线，分别与椭圆的上半部分相交于C，D，E，G四点，设F是椭圆的左焦点，则|FC|+|FD|+|FE|+|FG|的值是（　　） A．15 B．16 C．18 D．20 思维升华 (1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧 ①注意椭圆几何性质中的不等关系 在求与椭圆有关的一些范围问题时，经常用到x，y的范围，离心率的范围等不等关系． ②利用椭圆几何性质的技巧 求解与椭圆几何性质有关的问题时，理清顶点、焦点、长轴、短轴等基本量的内在联系． (2)求椭圆的离心率问题的一般思路 求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a，b，c的等式或不等式，即可得离心率或离心率的范围． 基础知识训练 1．【山东省聊城市2019届高三三模】若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 2．【河南省郑州市2019届高三第三次质量检测】“ ”是“方程 表示椭圆”的( ) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．【安徽省定远中学2019届高三全国高考猜题预测卷一】已知椭圆 ： ， ， 分别为椭圆 的左、右焦点， 为椭圆 上任一点，若 ，则 （ ） A．4 B．23 C．2 D． 4．【广东省东