专题51 直线与椭圆-2020年领军高考数学一轮复习（文理通用）

专题51直线与椭圆 最新考纲 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 重点难点突破 【题型一】直线与椭圆的位置关系 【典型例题】 已知椭圆，直线，则椭圆C上的点到直线l的最大距离为（　　） A． B． C． D．2 【再练一题】 椭圆E：1的右焦点为F2，直线y＝x+m与椭圆E交于A，B两点，当△F2AB的周长最大值为8时，则m的值为（　　） A．2 B． C．3 D． 思维升华 研究直线与椭圆位置关系的方法 (1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数． (2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点． 【题型二】弦长及弦中点问题 命题点1　弦长问题 【典型例题】 已知椭圆的短轴长为2，且椭圆的一个焦点在圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝18上． （1）求椭圆的方程； （2）已知椭圆的焦距小于4，过椭圆的左焦点F的直线l与椭圆相交于A，B两点，若，求|AB|． 【再练一题】 已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，且其焦点和短轴端点都在圆C：x2+y2＝2上． （Ⅰ）求椭圆E的标准方程； （Ⅱ）点P是圆C上一点，过点P作圆C的切线交椭圆E于A，B两点，求|AB|的最大值． 命题点2　弦中点问题 【典型例题】 已知椭圆C：1（a＞b＞0）的右焦点为F（2，0），过点F的直线交椭圆于M．N两点且MN的中点坐标为（1，）． （1）求C的方程； （2）设直线，不经过点P（0，b）且与C相交于A，B两点，若直线PA与直线PB的斜率的和为l，试判断直线，是否经过定点，若经过定点，请求出该定点；若不经过定点，请给出理由． 【再练一题】 已知中心在原点，一焦点为F（0，4）的椭圆被直线l：y＝3x﹣2截得的弦的中点横坐标为，求此椭圆的方程． 命题点3　椭圆与向量等知识的综合 【典型例题】 已知点P是椭圆1上的动点，F1，F2是左、右焦点．点Q满足与是方向相同的向量，且||＝||． （1）求点Q的轨迹C的方程； （2）是否存在斜率为1的直线l，使直线l与曲线C的两个交点A、B满足AF2⊥BF2？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由． 【再练一题】 已知椭圆C：1（0＜b），斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，向量与向量（2，﹣1）共线． （Ⅰ）求b； （Ⅱ）点P（x0，y0）在椭圆上移动（直线AB不过点P），且直线PA、PB分别与直线l：x＝2相交，交点记为M、N，试问M、N两点的纵坐标之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是请说明理由． 思维升华 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，应用根与系数的关系，解决相关问题．涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单． (2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝ ＝(k为直线斜率)． (3)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式． 【题型三】高考中求椭圆的离心率问题 考点分析　离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表示，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法． 基础知识训练 1．【湖北省黄冈中学2019届高三第三次模拟考试】已知椭圆 的离心率为 ，左、右焦点分别为 、 ， 为相圆 上一点， 与 轴交于 ， ， . （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）过右焦点 的直线 交椭圆于 、 两点若 的中点为 ， 为原点，直线 交直线 于点 .求 的最大值. 2．【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第二次模拟】动点 满足 . （1）求 点的轨迹并给出标准方程； （2）已知 ，直线 ： 交 点的轨迹于 ， 两点，设 且 ，求 的取值范围. 3．【山东省日照市2019届高三5月校际联合考试】如图，已知椭圆 ， 是长轴的一个端点，弦 过椭圆的中心 ，且 ． （1）求椭圆 的方程． （2）过椭圆 右焦点 的直线，交椭圆 于 两点，交直线 于点 ，判定直线 的斜率是否依次构成等差数列？请说明理由． 4．【江苏省南通市2019届高三模拟练习卷（四模)】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： (a＞b＞0)经过点(0， )，点F是椭圆的右焦点，点F到左顶点的距离和到右准线的距离相等．过点F的直线 交椭圆于M，N两点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）当MF＝2FN时，求直线 的方程；