人教B版高中数学必修2教学案：1.1.7柱、锥、台和球的体积（教师版+学生版）

1.1.7　柱、锥、台和球的体积 【学习要求】 1．理解祖暅原理的内容． 2．了解柱、锥、台体的体积公式的推导． 3．掌握柱、锥、台体和球的体积公式． 4．能运用公式求柱体，锥体，台体和球的体积． 【学法指导】 通过柱、锥、台和球体的体积公式的推导，提高空间思维能力和空间想象能力，增强探索问题和解决问题的信心. 填一填：知识要点、记下疑难点 1．柱体的体积：一般柱体的体积公式V＝ Sh     ，其中S为底面面积，h为棱柱的高． 2．棱锥的体积：V ＝   πR2h       .Sh       (S为底面面积，h为高)，圆锥的体积为：V圆锥＝     3．棱台的体积：V＝        ＋S)h        ，其中S′，S分别为上、下底面面积，h为棱台的高．(S′＋ 圆台的体积公式为：V圆台＝          πh(r2＋rR＋R2)        ． 4．球的体积：设球的半径为R，那么它的体积为V球＝    πR3     . 研一研：问题探究、课堂更高效 [问题情境] 上一节我们学习了几何体的表面积，一般地，面积是相对平面图形来说的，对于空间图形需要研究它们的体积，本节我们就来研究柱体、锥体、台体、球的体积和球的表面积问题． 探究点一　祖原理 问题1　我们已经学习了正方体、长方体、圆柱、圆锥的体积计算公式，它们的体积公式是什么？ 问题2　取一摞纸张放在桌面上(如下图所示) ，并改变它们的放置方法，观察改变前后的体积是否发生变化？从这个事实中你得到什么启发？ 探究点二　棱柱、圆柱和球的体积 问题1　等底、等高的棱柱、圆柱的体积关系如何？ 问题2　根据正方体、长方体、圆柱的体积公式，推测柱体的体积计算公式？ 问题3　底面半径是r，高是h的圆柱体的体积的计算公式如何表示？ 问题4　观察下面的图，用同样大小的三个三棱锥能拼成一个三棱柱，说明了什么问题？ 问题5　由问题4，你能得到锥体体积的计算公式吗？ 问题6　由锥体的体积公式，你能得出圆锥的体积公式吗？ 问题7　台体的上底面积S′，下底面积S, 高h，则台体的体积是如何计算的？ 问题8　由台体的体积公式，你能得出圆台的体积公式吗？ 问题9　如何求球的体积呢？ 问题10　柱体、锥体、台体的体积公式间有怎样的关系？ 例1　如图所示，在长方体ABCD—A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C—A′DD′，求棱锥C—A′DD′的体积与剩余部分的体积之比． 跟踪训练1　正三棱柱侧面的一条对角线长为2且与该侧面内的底边所成角为45°，求此三棱柱体积． 例2　有一堆相同规格的六角螺帽毛坯(如图)，共重5.8 kg，已知螺帽的底面六边形边长是12 mm，高是10 mm，内孔直径是10 mm，这一堆螺帽约有多少个(铁的密度是7.8 g/cm3，π≈3.14)? 跟踪训练2　如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径．求证：(1)球的体积等于圆柱体积的； (2)球的表面积等于圆柱的侧面积． 例3　在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两垂直且PA＝PB＝PC＝a，求这个球的体积． 跟踪训练3　球与圆台的上、下底面及侧面都相切，且球面面积与圆台的侧面积之比为3∶4，则球的体积与圆台的体积之比为 (　　) A．6∶13 B．5∶14 C．3∶4 D．7∶15 练一练：当堂检测、目标达成落实处 1．设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体积为 (　　) A．6 D．2 C．2 B. 2．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的 (　 ) A．2倍 B．2倍倍 D．倍 C． 3．直三棱柱ABC—A1B1C1的体积为V，已知点P、Q分别为AA1、CC1上的点，而且满足AP＝C1Q，则四棱锥B—APQC的体积是 (　　) A.VV D. V C. V B. 课堂小结： 1．求几何体的体积，需要求与其体积有关的各个量，但有时各个量不一定都要求出， 而只需求出与其体积有关的各量的组合． 2．“割补”是求体积的一种常用策略，运用时，要注意弄清“割补”前后几何体体积之间的数量关系． 3．解答组合体问题要注意知识的横向联系，善于把立体几何问题转化为平面几何问题， 运用方程思想与函数思想解决，融计算、推理、想象于一体． 4．柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为 V柱体＝ShSh.V锥体＝＋S′)h(S＋V台体＝ $$1.1.7　柱、锥、台和球的体积 【学习要求】 1．理解祖暅原理的内容． 2．了解柱、锥、台体的体积公式的推导． 3．掌握柱、锥、台体和球的体积公式． 4．能运用公式求柱体，锥体，台体和球的体积． 【学法指导】 通过柱、锥、台和球体的体积公式的推导，提高空间思维能力和空间想象能力，增