人教B版高中数学必修2教学案：1.2.3空间中的垂直关系（教师版+学生版） (共4份打包)

1.2.3　空间中的垂直关系(一) 【学习要求】 1．理解直线与平面垂直的定义． 2．掌握直线与平面垂直的判定定理及其性质定理． 3．会应用两定理解决问题． 【学法指导】 借助对实例、图片的观察，提炼直线与平面垂直的定义；通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直的判定定理及性质定理；通过运用两定理感悟和体验线面垂直转化为线线垂直的思想方法. 填一填：知识要点、记下疑难点 1．如果两条直线相交于一点或经过     平移后       相交于一点，并且交角为   直角      ，则称这两条直线互相垂直． 2．如果一条直线AB和一个平面α相交于点O，并且和这个平面内过交点O的任何直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直．这条直线叫做    平面的垂线         ，这个平面叫做     直线得垂面        ，交点叫做     垂足    ，垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个        点到平面的距离                        ． 3．线面垂直的判定定理：如果一条直线与平面内的      两条相交          直线垂直，则这条直线与这个平面垂直． 4．线面垂直的性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线    平行      . 研一研：问题探究、课堂更高效 [问题情境] 生活中处处都有直线和平面垂直的例子，如旗杆和地面、路灯与地面等等．在判断线面平行时我们有判定定理，那么判断线面垂直又有什么好办法呢？本节我们就来研究这一问题． 探究点一　直线与平面垂直的定义 问题1　你能举出在日常生活中给人以直线与平面垂直的例子吗？ 问题2　在平面内，如果两条直线互相垂直，则它们一定相交．在空间中，两条互相垂直的直线也一定相交吗？你能举例说明吗？ 问题3　在平面中，到线段AB两端距离相等点的集合是线段的垂直平分线，在空间中，线段AB的垂直平分线有多少条？AB的这些垂直平分线构成的集合是怎样的图形？ 问题4　结合对下列问题的思考，试着说明直线和平面垂直的意义．(1)如图，阳光下直立于地面的旗杆AB与它在地面上的影子BC的位置关系是什么？随着太阳的移动，旗杆AB与影子BC所成的角度会发生改变吗？ (2)旗杆AB与地面上任意一条不过旗杆底部B的直线B′C′的位置关系又是什么？依据是什么？由此得到什么结论？ 问题5　通过上述分析，你认为应该如何定义一条直线与一个平面垂直？ 问题6　如何画直线与平面垂直？如何用符号表示直线与平面垂直？ 问题7　若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线垂直于平面吗？如不是，直线与平面的位置关系如何？ 探究点二　直线与平面垂直的判定定理 问题1　通常定义可以作为判定的依据，那么用上述定义判定直线与平面垂直是否方便？为什么？ 问题2　请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做如图所示的试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD、DC与桌面接触)，问：折痕AD与桌面垂直吗？如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面垂直？ 问题3　由折痕AD⊥BC，翻折之后垂直关系不变，即AD⊥CD，AD⊥BD.由此你能得到什么结论？ 问题4　如图，把AD、BD、CD抽象为直线l、m、n ，把桌面抽象为平面α，l与α垂直的条件是什么？ 问题5　如图，若α内两条相交直线m、n与l无公共点且l⊥m、l⊥n，我们可以把直线l平移到交点处，由此你能给出判定直线与平面垂直的方法吗？ 问题6　如何用符号语言表示直线与平面垂直的判定定理？ 例1　已知：a∥b，a⊥α.求证：b⊥α. 跟踪训练1　已知：直线l⊥平面α，直线m⊥平面α，垂足分别为A、B，如图，求证：l∥m. 例2　过一点和已知平面垂直的直线只有一条．已知：平面α和一点P(如下图)． 求证：过点P与平面α垂直的直线只有一条． 跟踪训练2　已知：直线l⊥平面α，垂足为A，直线AP⊥l. 求证：AP在平面α内． 例3　有一根旗杆高8 m(如图)，在它的顶点处系两条长10 m的绳子，拉紧绳子并把它们的下端固定在地面上的两点(与旗杆脚不在同一条直线上)．如果这两点与旗杆脚距6 m，那么旗杆就与地面垂直，为什么？ 跟踪训练3　如图，直四棱柱A′B′C′D′—ABCD中，底面四边形满足什么条件时，A′C⊥B′D′？为什么？ 练一练：当堂检测、目标达成落实处 1．直线a⊥直线b，b⊥平面β，则a与β的关系是 (　　) A．a⊥β B．a∥β C．a⊂β D．a⊂β或a∥β 2．直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能(　　) A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直 3．如图所示，AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝