专题16 解析几何解题技巧—设而不求，金蝉脱壳-名师揭秘2020年高考数学一轮总复习之解析几何（文理通用）

专题16解析几何解题技巧—设而不求，金蝉脱壳 一．【学习目标】 1.掌握圆锥曲线的定义； 2．掌握焦点三角形的应用和几何意义； 3.掌握圆锥曲线方程的求法； 4.掌握直线与圆锥曲线的位置关系； 5.熟练掌握定点、定值、最值和范围问题。 二．【知识点总结】 1.椭圆定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于之间的距离)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 2．椭圆的标准方程 (1) ，焦点，其中． (2) ，焦点，其中 3．椭圆的几何性质以为例 (1)范围：． (2)对称性：对称轴：轴，轴；对称中心： (3)顶点：长轴端点：，短轴端点：；长轴长，短轴长，焦距. (4)离心率越大，椭圆越扁，越小，椭圆越圆． (5) 的关系：. 4．双曲线的定义： 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数(小于之间的距离)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 5．双曲线的标准方程 (1) ，焦点，其中． (2) ，焦点，其中 6．双曲线的几何性质以为例 (1)范围：． (2)对称性：对称轴：轴，轴；对称中心： (3)顶点：实轴端点：，虚轴端点：；实轴长，虚轴长，焦距. (4)离心率 (5) 渐近线方程. 7．抛物线的定义： 平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，直线叫抛物线的准线. 8．抛物线的标准方程 (1) ．对应的焦点分别为： . (2)离心率. 三．【题型归纳】 （一）斜率的积和商中的韦达定理 （二）面积问题中的设而不求 （三）与向量综合的设而不求 （四）定值与设而不求 （五）圆锥曲线与圆综合中的设而不求 （六）定点与设而不求 四．【题型方法】 （一）斜率的积和商中的韦达定理 例1. 给定椭圆 ，称圆心在坐标原点 ，半径为 的圆是椭圆 的“伴椭圆”，若椭圆 右焦点坐标为 ，且过点 . （1）求椭圆 的“伴椭圆”方程； （2）在椭圆 的“伴椭圆”上取一点 ，过该点作椭圆的两条切线 、 ，证明：两线垂直； （3）在双曲线 上找一点 作椭圆 的两条切线，分别交于切点 、 使得 ，求满足条件的所有点 的坐标. 练习1.已知直线 ， ，过点 的直线 分别与直线 ， 交于 ，其中点 在第三象限，点 在第二象限，点 ； （1）若 的面积为 ，求直线 的方程； （2）直线 交于 点 ，直线 交 于点 ，若 直线的斜率均存在，分别设为 ，判断 是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由． （二）面积问题中的设而不求 例2．在平面直角坐标系 中，已知双曲线 的焦点在 轴，焦距为 ，虚轴长为2； （1）求实数 的值: （2）设椭圆 ，若 分别为 上的动点，且 ，求证：点 到直线 的距离为定值 练习1. 已知椭圆 的左、右两个顶点分别为 、 ，曲线 是以 、 两点为顶点，焦距为 的双曲线，设点 在第一象限且在曲线 上，直线 与椭圆相交于另一点 . （1）求曲线 的方程； （2）设 、 两点的横坐标分别为 、 ，求证 为一定值； （3）设△ 与△ （其中 为坐标原点）的面积分别为 与 ，且 ，求 的取值范围. （三）与向量综合的设而不求 例3. 设抛物线 的焦点为 （1）若抛物线 与直线 有且只有一个公共点.求实数 的值: （2）若点 满足 ，当点 在抛物线 上运动时，求动点 的轨迹方程； （3）在 轴上是否存在点 ，使得点 关于直线 的对称点在抛物线 上？如果存在，求所有满足条件的点 的坐标:如果不存在。请说明理由。. 练习1。如图，已知抛物线 经过点 ，过点 的直线 与抛物线 有两个不同的交点 、 . （1）求直线 的斜率的取值范围； （2）设 为原点，直线 交 轴于 ，直线 交 轴于 ， ， ，求证： 为定值. （四）定值与设而不求 例4. 已如椭圆C： 的两个焦点与其中一个顶点构成一个斜边长为4的等腰直角三角形. （1）求椭圆C的标准方程； （2）设动直线l交椭圆C于P，Q两点，直线OP，OQ的斜率分别为k，k＇.若 ，求证△OPQ的面积为定值，并求此定值. 练习1. 如图，已知定圆 ，定直线 过 的一条动直线 与直线相交于 ，与圆 相交于 两点， 是 中点． （1）当 与 垂直时，求证： 过圆心 ； （2）当 EMBED Equation.DSMT4 时，求直线 的方程； （3）设 EMBED Equation.DSMT4 ，试问 是否为定值，若为定值，请求出 的值；若不为定值，请说明理由． （五）圆锥曲线与圆综合中的设而不求 例5. 已知椭圆 的离心率为 ，且圆 的圆心在椭圆 上． （1）求椭圆 的标准方程； （2）若直线 与椭圆 只有一个公共点 ，且与直线 交于点 ，问 轴上是否存在点 ，使得以 为直径的圆恒过点 ？若