专题18 解析几何解题技巧—巧借向量，化繁为简-名师揭秘2020年高考数学一轮总复习之解析几何（文理通用）

专题18解析几何解题技巧—巧借向量，化繁为简 一．【学习目标】 1.掌握圆锥曲线的定义； 2．掌握焦点三角形的应用和几何意义； 3.掌握圆锥曲线方程的求法； 4.掌握直线与圆锥曲线的位置关系； 5.熟练掌握定点、定值、最值和范围问题。 二．【知识点总结】 1.椭圆定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于之间的距离)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 2．椭圆的标准方程 (1) ，焦点，其中． (2) ，焦点，其中 3．椭圆的几何性质以为例 (1)范围：． (2)对称性：对称轴：轴，轴；对称中心： (3)顶点：长轴端点：，短轴端点：；长轴长，短轴长，焦距. (4)离心率越大，椭圆越扁，越小，椭圆越圆． (5) 的关系：. 4．双曲线的定义： 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数(小于之间的距离)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 5．双曲线的标准方程 (1) ，焦点，其中． (2) ，焦点，其中 6．双曲线的几何性质以为例 (1)范围：． (2)对称性：对称轴：轴，轴；对称中心： (3)顶点：实轴端点：，虚轴端点：；实轴长，虚轴长，焦距. (4)离心率 (5) 渐近线方程. 7．抛物线的定义： 平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，直线叫抛物线的准线. 8．抛物线的标准方程 (1) ．对应的焦点分别为： . (2)离心率. 三．【题型归纳】 （一）借助向量求轨迹 （二）借助向量求最值 （三）借助向量求范围 （四）向量的几何意义 （五）向量数量积的灵活应用 （六）向量的综合应用 四．【题型方法】 （一）借助向量求轨迹 例1．在平面直角坐标系 中，已知向量 、 ， ， ，点Q满足 ，曲线 ，区域 ，若 为两端分离的曲线，则（ ） A. B. C. D. 练习1．在平面内,设A、B为两个不同的定点,动点P满足: ( 为实常数)，则动点P的轨迹为（ ） A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.不能确定 练习2. 在三棱锥 中， ，点 为 所在平面内的动点，若 与 所成角为定值 ， ，则动点 的轨迹是 A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 （二）借助向量求最值 例2．设点 、 均在双曲线 上运动， 、 是双曲线 的左、右焦点，则 的最小值为（ ） A. B.4 C. D.以上都不对 练习1.已知点M、N分别是直线：和：上的动点，点满足，则的最小值为　　 A. B. C. D.0 （三）借助向量求范围 例3.已知 ， 为椭圆 的两个焦点， 为椭圆短轴的一个端点， ，则椭圆的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 练习1.已知过抛物线 的焦点 的直线与抛物线交于 两点，且 ，抛物线的准线 与 轴交于 ， 于点 ，且四边形 的面积为 ，过 的直线 交抛物线于 两点，且 ，点 为线段 的垂直平分线与 轴的交点，则点 的横坐标 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 练习2.在直角坐标系内，已知 是以点 为圆心的圆上的一点，折叠该圆两次使点 分别与圆上不相同的两点（异于点 ）重合，两次的折痕方程分别为 和 ，若圆上存在点 ，使得 ，其中点 、 ，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. （四）向量的几何意义 例4.设 为抛物线 的焦点， ， ， 为该抛物线上不同三点， ，则 的值为 A. B. C. D. 练习1．设F为抛物线 的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若 ，则 A.6 B.9 C.3 D.4 练习2. 已知 为抛物线 的焦点， 为抛物线 上三点，当 时，称 为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有( ) A.0个 B.1个 C.3个 D.无数个 （五）向量数量积的灵活应用 例5.以椭圆 的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线 ，其左右焦点分别是 ，已知点 的坐标为 ，双曲线 上的点 EMBED Equation.DSMT4 ，满足 ，则 （　　） A．2 B．4 C．1 D． 练习1.以椭圆 的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线 ，其左右焦点分别是 ，已知点 的坐标为 ，双曲线 上的点 EMBED Equation.DSMT4 ，满足 ，则 （　　） A．2 B．4 C．1 D． （六）向量的综合应用 例6.已知，动点在：上运动.线段的中垂线与交于. （1）求点的轨迹的方程； （2）设、、三点均在曲线上，且，（为原点），求的范围. 练习1．已知二次曲线的方程为 (1)分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件； (2)若抛物线与共焦点,求抛物线L上的动点A到点的最小值 (3)为正常数,且是否存在两条曲线其交点P与点满足若存在,求的值；若不存在,请说明理由. 练习