专题9.9 圆锥曲线的综合问题（讲）-2020年高考数学一轮复习讲练测（浙江版）

2020年高考数学一轮复习讲练测（浙江版） 第九章 解析几何 专题9.9 圆锥曲线的综合问题 ---讲 1. 会解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的问题. 2．了解方程与曲线的对应关系和求曲线方程的基本方法. 3．理解数形结合、用代数方法处理几何问题的思想.了解圆锥曲线的简单应用. 4. 高考预测： （1）圆锥曲线是历年高考命题的重点和热点，也是一大难点．命题的热点主要有四个方面：一是直线和圆锥曲线的位置关系中的基本运算；二是最值与范围问题；三是定点与定值问题；四是有关探究性的问题． （2）命题多与函数、方程、不等式、数列、向量等多种知识综合，考查考生的各种数学思想与技能. 5.备考重点： （1）掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质； （2）熟练掌握常见直线与圆锥曲线综合问题题型的解法； （3）利用数形结合思想，灵活处理综合问题. 知识点1. 圆锥曲线中的定点、定值问题 圆锥曲线中定值、定点问题的求解方法 圆锥曲线中的定点、定值问题往往与圆锥曲线中的“常数”有关，如椭圆的长、短轴，双曲线的虚、实轴，抛物线的焦参数等．定值问题的求解与证明类似，在求定值之前，已经知道定值的结果(题中未告知，可用特殊值探路求之)，解答这类题要大胆设参，运算推理，到最后参数必清，定值显现． 【典例1】（2019·安徽高三月考（理））已知点A，B是抛物线 上关于轴对称的两点，点E是抛物线C的准线与x轴的交点. （1）若 是面积为4的直角三角形，求抛物线C的方程； （2）若直线BE与抛物线C交于另一点D，证明：直线AD过定点. 【变式1】（2018届安徽省淮南市二模】已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，且抛物线上有一点到焦点的距离为6. (1)求该抛物线的方程； (2)已知抛物线上一点，过点作抛物线的两条弦和，且，判断直线是否过定点，并说明理由. 知识点2. 圆锥曲线中的最值与范围问题 与圆锥曲线相关的最值、范围问题综合性较强，解决的方法：一是由题目中的限制条件求范围，如直线与圆锥曲线的位置关系中Δ的范围，方程中变量的范围，角度的大小等；二是将要讨论的几何量如长度、面积等用参数表示出来，再对表达式进行讨论，应用不等式、三角函数等知识求最值，在解题过程中注意向量、不等式的应用． 【典例2】（2019·四川高三月考（理））已知抛物线 ，过点 的直线与抛物线交于 两点，又过 两点分别作抛物线的切线，两条切线交于 点. （1）证明：直线 的斜率之积为定值； （2）求 面积的最小值 【变式2】（2019·安徽高三月考（理））已知圆的圆心的坐标为，且圆与直线：相切，过点的动直线与圆相交于，两点，直线与直线的交点为. （1）求圆的标准方程； （2）求的最小值； （3）问：是否是定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 知识点3. 圆锥曲线中的探索性问题 探索性问题的求解方法：先假设成立，在假设成立的前提下求出与已知、定理或公理相同的结论，说明结论成立，否则说明结论不成立．处理这类问题，一般要先对结论做出肯定的假设，然后由此假设出发，结合已知条件进行推理论证．若推出相符的结论，则存在性随之解决；若推出矛盾，则否定了存在性；若证明某结论不存在，也可以采用反证法. 【典例3】（2019·全国高考真题（文））已知点A，B关于坐标原点O对称，│AB│ =4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切． （1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径． （2）是否存在定点P，使得当A运动时，│MA│－│MP│为定值？并说明理由． 【变式3】（2014·山东高考真题（理））已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为时，为正三角形. （Ⅰ）求的方程； （Ⅱ）若直线，且和有且只有一个公共点， （ⅰ）证明直线过定点，并求出定点坐标； （ⅱ）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由. 考点1 圆锥曲线中的定点、定值问题 【典例4】（2019·湖北高三月考）已知椭圆：的左、右焦点，，是椭圆上任意一点，若以坐标原点为圆心，椭圆短轴长为直径的圆恰好经过椭圆的焦点，且的周长为． （1）求椭圆的方程； （2）设直线是圆：上动点处的切线，与椭圆交与不同的两点，，证明：的大小为定值． 【变式4】（2020·浙江高三月考）已知椭圆 （）的焦距为，且过点． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若点，设为椭圆上位于第三象限内一动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值，并求出该定值． 考点2 圆锥曲线中的最值与范围问题 【典例5】（2018·湖南宁乡一中高三月考）已知椭圆的左，右焦点分别为，该椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切. （I）求椭圆的方程； （Ⅱ）如