专题09 曲线与方程-2020年高考数学（理）解析几何突破性讲练

2020年高考数学（理）解析几何突破性讲练 09曲线与方程 一、考点传真： 1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系； 2.了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究曲线的简单性质； 3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程. 二、知识点梳理： 1.曲线与方程的定义 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系： 那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线. 2.求动点的轨迹方程的基本步骤 【强调几点】 1.“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件. 2.曲线的交点与方程组的关系： (1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解； (2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点. 三、例题： 例1．（2019北京卷）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）。给出下列三个结论： ① 曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ② 曲线上任意一点到原点的距离都不超过; ③ 曲线所围城的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是（ ） （A）① （B）② （C）①② （D）①②③ 例2. （2019全国卷II）已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−.记M的轨迹为曲线C. （1）求C的方程，并说明C是什么曲线； （2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G. （i）证明：是直角三角形； （ii）求面积的最大值. 例3. （2017新课标Ⅱ）设为坐标原点，动点在椭圆：上，过做轴的垂线，垂足为，点满足． （1）求点的轨迹方程； （2）设点在直线上，且．证明：过点且垂直于的直线过的左焦点． 例4. （2015湖北卷）一种作图工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且，．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕转动一周（D不动时，N也不动），M处的笔尖画出的曲线记为C．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系． （Ⅰ）求曲线C的方程； （Ⅱ）设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线 总与曲线有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由． 例5. （2012湖南卷）在直角坐标系中，曲线的点均在：外，且对上任意一点，到直线的距离等于该点与圆上点的距离的最小值. （Ⅰ）求曲线的方程； （Ⅱ）设（）为圆外一点，过作圆的两条切线，分别与曲线相交于点A，B和C，D.证明：当在直线上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值． 四、巩固练习： 1．已知M(－1，0)，N(1，0)，|PM|－|PN|＝2，则动点P的轨迹是(　　) A.双曲线 B.双曲线左支 C.一条射线 D.双曲线右支 2.方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0表示的曲线是(　　) A.一条直线和一条双曲线 B.两条双曲线 C.两个点 D.以上答案都不对 3.已知点F，点B是l上的动点，若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是(　　) ，直线l：x＝－ A.双曲线 B.椭圆 C.圆 D.抛物线 4．到点F(0,4)的距离比到直线y＝－5的距离小1的动点M的轨迹方程为(　　) A．y＝16x2 B．y＝－16x2 C．x2＝16y D．x2＝－16y 5．已知平面内有一条线段AB，其长度为4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，O为AB的中点，则|OP|的最小值为(　　) A．1 B. C．2 D．3 6.已知点P在曲线2x2－y＝0上移动，则点A(0，－1)与点P连线的中点的轨迹方程是(　　) A.y2＝2x B.y2＝8x2 C.y＝4x2－ D.y＝4x2＋ 7.设线段AB的两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，且|AB|＝5，，则点M的轨迹方程为(　　) ＋＝ A.＝1 ＋＝1 B.＋ C.＝1 ＋＝1 D.＋ 8.设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则点P的轨迹方程是(　　) A.y2＝2x B.(x－1)2＋y2＝4 C.y2＝－2x D.(x－1)2＋y2＝2 9．在△ABC中，已知A(－1,0)，C(1,0)，且|BC|，|CA|，|AB|成等差数列，则顶点B的轨迹方程是(　　) A.) ＝1(x≠±＋＝1 B.＋