专题11 圆锥曲线综合问题（2）-最值、范围、证明问题-2020年高考数学（理）解析几何突破性讲练

2020年高考数学（理）解析几何突破性讲练 11圆锥曲线综合问题（2） -最值、范围、证明问题 一、考点传真： 1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法； 2.了解圆锥曲线的简单应用； 3.理解数形结合的思想． 二、知识点梳理： 1.圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是几何方法，即通过利用 圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)变量的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解. 2.解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围； (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 3.圆锥曲线中的证明问题常见的有： (1)位置关系方面的：如证明直线与曲线相切，直线间的平行、垂直，直线过定点等. (2)数量关系方面的：如存在定值、恒成立、相等等. 在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下，一般采用直接法，通过相关的代数运算证明，但有时也会用反证法证明. 三、例题： 例1. （2019浙江卷）如图，已知点为抛物线的焦点，过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线上，使得的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F右侧.记的面积为. （1）求p的值及抛物线的准线方程； （2）求的最小值及此时点G的坐标. 例2．(2018·浙江卷)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上. (1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴； (2)若P是半椭圆x2＋＝1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围. 例3. (2018·全国Ⅲ卷)已知斜率为k的直线l与椭圆C：＝1交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，m)(m>0). ＋ (1)证明：k<－； (2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且|成等差数列，并求该数列的公差. |，||，|＝0.证明：|＋＋ 例4. (2018·天津卷)设椭圆. ，|AB|＝＝1(a>b>0)的右顶点为A，上顶点为B.已知椭圆的离心率为＋ (1)求椭圆的方程； (2)设直线l：y＝kx(k<0)与椭圆交于P，Q两点，l与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限.若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值. 例5. (2016年全国II)已知椭圆的焦点在轴上，是的左顶点，斜率为的直线交于两点，点在上，． （Ⅰ）当时，求的面积； （Ⅱ）当时，求的取值范围． 四、巩固练习： 1．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为(　　) A．2 B. C. D. 2.抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为(　　) A. D. C.2 B. 3.若点O和点F分别为椭圆的最大值为(　　) ·＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则＋ A.2 B.3 C.6 D.8 4．过抛物线y2＝x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，且直线l的倾斜角θ≥，点A在x轴上方，则|FA|的取值范围是(　　) A. B. C. D. 5．已知F1，F2分别是双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，对于左支上任意一点P都有|PF2|2＝8a|PF1|(a为实半轴长)，则此双曲线的离心率e的取值范围是(　　) － A．(1，＋∞) B．(2,3] C．(1,3] D．(1,2] 6．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为(　　) A. B. C. D．1 7．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：x2＝4y，点P是C的准线l上的动点，过点P作C的两条切线，切点分别为A，B，则△AOB面积的最小值为(　　) A. B．2 C．2 D．4 8.过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，则|AF|·|BF|的最小值是(　　) A．2 B. C．4 D．2 9.已知抛物线y2＝4x，过其焦点F的直线l与抛物线分别交于A，B两点(A在第一象限内)，，过AB的中点且垂直于l的直线与x轴交于点G，则△ABG的面积为(　　) ＝3 A. D. C. B. 10