专题12 圆锥曲线综合问题（3）-定点、定值、探究性问题-2020年高考数学（理）解析几何突破性讲练

2020年高考数学（理）解析几何突破性讲练 12圆锥曲线综合问题（3） -定点、定值、探究性问题 一、考点传真： 1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法； 2.了解圆锥曲线的简单应用； 3.理解数形结合的思想． 二、知识点梳理： 1.圆锥曲线中定点问题的两种解法 (1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点. (2)特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 2.圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法 (1)特点：待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值. (2)两大解法： ①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； ②引起变量法：其解题流程为 → 　↓ → 　↓ → 3.探究性问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论. 三、例题： 例1．（2019北京卷）已知抛物线经过点(2，-1). (I) 求抛物线C的方程及其准线方程； 设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=-1分别交直线OM，ON于点A和点B，求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两上定点. 例2. (2016年山东卷)平面直角坐标系中，椭圆C：的离心率是，抛物线E：的焦点F是C的一个顶点. （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M． （i）求证：点M在定直线上； （ii）直线与y轴交于点G，记的面积为，的面积为， 求 的最大值及取得最大值时点P的坐标． 例3. （2015四川卷）如图，椭圆：的离心率是，过点的动直线与椭圆相交于两点，当直线平行与轴时，直线被椭圆截得的线段长为． （1）求椭圆的方程； （2）在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 例4. （2015北京卷）已知椭圆：的离心率为，点和点 都在椭圆上，直线交轴于点． （Ⅰ）求椭圆的方程，并求点的坐标（用，表示）； （Ⅱ）设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点．问：轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 四、巩固练习： 1.已知抛物线C的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点A(1，2)为抛物线C上一点. (1)求抛物线C的方程； (2)若点B(1，－2)在抛物线C上，过点B作抛物线C的两条弦BP与BQ，如kBP·kBQ＝－2，求证：直线PQ过定点. 2．已知椭圆C：，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，△OAB的面积为1. ＝1(a＞b＞0)的离心率为＋ (1)求椭圆C的方程； (2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|·|BM|为定值． 3.设椭圆C：，O为坐标原点． ＝1的距离d＝＋，左顶点M到直线＝1(a>b>0)的离心率e＝＋ (1)求椭圆C的方程； (2)设直线l与椭圆C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，证明：点O到直线AB的距离为定值． 4.已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，直线x＋y－1＝0与抛物线相交于A，B两点，且|AB|＝. (1)求抛物线的方程； (2)在x轴上是否存在一点C，使△ABC为正三角形？若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由. 5.已知椭圆C：，设过点F2的直线l与被椭圆C截得的线段为RS，当l⊥x轴时，|RS|＝3. ＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1，F2，短轴的一个端点为P，△PF1F2内切圆的半径为＋ (1)求椭圆C的标准方程； (2)在x轴上是否存在一点T，使得当l变化时，总有TS与TR所在直线关于x轴对称？若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由. 6.已知椭圆C：＝1(a>b>0)的一个焦点与上、下顶点两两相连构成直角三角形，以椭圆C的长轴长为直径的圆与直线x＋y－2＝0相切. ＋ (1)求椭圆C的标准方程； (2)设过椭圆右焦点且不重合于x轴的动直线与椭圆C相交于A，B两点，探究在x轴上是否存在定点E，使得为定值？若存在，试求出定值和点E的坐标；若不存在，请说明理由. · 7．已知半椭圆＝1(x<0)组成的曲线称为“果圆”，其中a2＝b2＋c2，a>b>c>0.如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2是“果圆”与x，y轴的交点． ＋＝1(x≥0)与半椭圆＋ (1)若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程； (2)若|A1A