专题09 椭圆解答题解题方法总结-名师揭秘2020年高考数学一轮总复习之解析几何（文理通用）

专题09椭圆解答题解题方法总结 一．【学习目标】 1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质． 2．熟练掌握常见的几种数学思想方法——函数与方程、数形结合、转化与化归． 3．了解椭圆的实际背景及椭圆的简单应用． 二．【知识要点】 1．椭圆的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于____________)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点F1，F2叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 2．椭圆的标准方程 (1) ______________ (a>b>0)，焦点F1(－c，0)，F2(c，0)，其中c＝_____________． (2)＝1(a>b>0)，焦点___________________，其中c＝_____________． ＋ 3．椭圆的几何性质以＝1(a>b>0)为例 ＋ (1)范围：________________． (2)对称性：对称轴：x轴，y轴；对称中心：O(0，0)． (3)顶点：长轴端点：A1(－a，0)，A2(a，0)，短轴端点：B1(0，－b)，B2(0，b)；长轴长|A1A2|＝2a，短轴长|B1B2|＝2b，焦距|F1F2|＝2c. (4)离心率e＝_______，0<e<1，e越大，椭圆越______，e越_______，椭圆越圆． (5)a，b，c的关系：c2＝a2－b2或a2＝c2＋b2. 三．【题型总结】 （一）三角形的面积的解题思路（1）弦长公式和点到直线距离公式，（2）如果三角形被坐标轴分成两部分，用两个三角形面积之和求解 （二）定点问题（1）特殊位置找定点；（2）直线中含一个参数找定点 （三）定值问题 （四）角相等的转化 （五）距离问题的在转化 （六）相切问题的解决方法 （七）向量与椭圆的综合 （八）点差法的应用 （九）对称问题 （十）求轨迹的方法 四．【题型方法】； （一）三角形的面积问题 例1．已知椭圆 的离心率 ，一个长轴顶点在直线 上，若直线 与椭圆交于 ， 两点， 为坐标原点，直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 . （1）求该椭圆的方程. （2）若 ，试问 的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 练习1. 已知椭圆 的左、右焦点为别为 、 ，且过点 和 . （1）求椭圆的标准方程； （2）如图，点 为椭圆上一动点（非长轴端点）， 的延长线与椭圆交于点 ， 的延长线与椭圆交于点 ，求 面积的最大值． （二）定点问题 例2. 已知椭圆C： 的一个焦点与上下顶点构成直角三角形，以椭圆C的长轴长为直径的圆与直线 相切． 1 求椭圆C的标准方程； 2 设过椭圆右焦点且不重合于x轴的动直线与椭圆C相交于A、B两点，探究在x轴上是否存在定点E，使得 为定值？若存在，试求出定值和点E的坐标；若不存在，请说明理由． 练习1. 设椭圆 的上顶点为A，右顶点为B，离心率为 ， ． （1）求椭圆的方程； （2）不经过点A的直线 与椭圆交于M、N两点，若以MN为直径的圆经过点A，求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标． （三）定值问题 例3.已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，离心率为 ，直线 与椭圆C交于A，B两点，且 ． (1)求椭圆C的方程． (2)不经过点 的直线 被圆 截得的弦长与椭圆C的长轴长相等，且直线 与椭圆C交于D，E两点，试判断 的周长是否为定值?若是，求出定值；若不是，请说明理由． 练习1. 已知圆 与椭圆 相交于点M（0，1），N（0，-1），且椭圆的离心率为 . （1）求 的值和椭圆C的方程； （2）过点M的直线 交圆O和椭圆C分别于A，B两点. ①若 ，求直线 的方程； ②设直线NA的斜率为 ，直线NB的斜率为 ，问: 是否为定值? 如果是，求出定值；如果不是，说明理由. （四）角相等的转化 例4. 椭圆 的离心率为 ，过点 的动直线 与椭圆相交于 两点，当直线 平行于 轴时，直线 被椭圆 截得线段长为 . （1）求椭圆 的方程； （2）在 轴上是否存在异于点 的定点 ，使得直线 变化时，总有 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由. 练习1. 已知椭圆 ： 过点 ，且椭圆的离心率为 ． (Ⅰ)求椭圆 的方程； (Ⅱ)斜率为 的直线 交椭圆 于 ， 两点，且 ．若直线 上存在点P，使得 是以 为顶角的等腰直角三角形，求直线 的方程． （五）距离问题的在转化 例5. 已知椭圆 的离心率为 ，左、右焦点分别为 、 ， 为椭圆上异于长轴端点的点，且 的最大面积为 . （1）求椭圆 的标准方程 （2）若直线 是过点 点的直线，且 与椭圆 交于不同的点 、 ，是否存在直线 使得点 、 到直线 ，的距离 、 ，满足 恒成立，若存在，求 的值，若不存在，说明理由. 练习1. 已知圆 ： ，椭圆 ： 的离心率为 ，圆 上任意一点 处的切