安徽省铜陵市第一中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C C A C B C B A C C B 13. 1 14.或 15. 16. 17. (1) ----------------------5分 (2) ----------------------10分 18.(1)证明：∵C是底面圆周上异于A,B的一点,且AB为底面圆的直径,∴BC⊥AC. 又AA1⊥底面ABC,∴BC⊥AA1, 又AC∩AA1=A,∴BC⊥平面A1AC. 又BC⊂平面BA1C, ∴平面A1AC⊥平面BA1C. ----------------------6分 (2)解：在Rt△ACB中,设AC=x, ∴BC=(0<x<2), ∴S△ABC·AA1=AC·BC·AA1=(0<x<2). ∵0<x<2,∴0<x2<4. ∴当x2=2,即x=时,的值最大,且的最大值为. ----------------------12分 19.证明：(1)设AC∩BE=O,连接OF,EC.因为E为AD的中点, AB=BC=AD,AD∥BC, 所以AE∥BC,AE=AB=BC, 所以O为AC的中点. 又在△PAC中,F为PC的中点,所以AP∥OF. 又OF⊂平面BEF,AP⊄平面BEF, 所以AP∥平面BEF. ----------------------6分 (2)由题意知,ED∥BC,ED=BC, 所以四边形BCDE为平行四边形, 所以BE∥CD. 又AP⊥平面PCD,所以AP⊥CD,所以AP⊥BE. 因为四边形ABCE为菱形,所以BE⊥AC. 又AP∩AC=A,AP,AC⊂平面PAC, 所以BE⊥平面PAC. ----------------------12分 20.解：(1)设圆C的方程为:x2+y2+Dx+Ey+F=0, 则有 故圆C的方程为x2+y2-6x+4y+4=0. ----------------------6分 (2)设符合条件的实数a存在, 因为l垂直平分弦AB,故圆心C(3,-2)必在l上, 所以l的斜率kPC=-2. kAB=a=-, 所以a=. ----------------------8分 把直线ax-y+1=0即y=ax+1,代入圆C的方程, 消去y,整理得(a2+1)x2+6(a-1)x+9=0. 由于直线ax-y-1=0交圆C于A,B两点, 则Δ=36(a-1)2-36(a2+1)>0, 即-2a>0,解得a<0. 则实数a的取值范围是(-∞,0). 由于∉(-∞,0), 故不存在实数a,使得过点P(2,0)的直线l垂直平分弦AB. ----------------------12分 21.(1)证明：设AC,BD相交于点F,连接EF, ∵四棱锥P-ABCD底面ABCD为菱形, ∴F为AC的中点, 又∵E为PA的中点,∴EF∥PC. 又∵EF⊂平面EBD,PC⊄平面EBD, ∴PC∥平面EBD. ----------------------4分 (2)解：∵底面ABCD为菱形,∠ABC=60°, ∴△ACD是边长为2的正三角形, 又∵PA⊥底面ABCD, ∴PA为三棱锥P-ACD的高, ∴VC-PAD=VP-ACD=S△ACD·PA=×22×2=. ----------------------8分 (3)解：在侧棱PC上存在一点M,满足PC⊥平面MBD,下面给出证明. ∵四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形, ∴AC⊥BD, ∵PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD, ∴BD⊥PA. ∵AC∩PA=A,∴BD⊥平面PAC, ∴BD⊥PC. 在△PBC内,可求PB=PC=2,BC=2, 在平面PBC内,作BM⊥PC,垂足为M, 设PM=x,则有8-x2=4-(2-x)2, 解得x=<2. 连接MD,∵PC⊥BD,BM⊥PC,BM∩BD=B,BM⊂平面BDM,BD⊂平面BDM. ∴PC⊥平面BDM. ∴满足条件的点M存在,此时PM的长为. ---